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[数学史话] 问题求解的引路人

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发表于 2014-10-27 10:33:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 何必在意NE 于 2014-10-27 10:41 编辑

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                                                                      波利亚,G.(Polya,George),

                                                                1887年12月13日生于匈牙利布达佩斯;

                                                      1985年8月7日卒于美国加利福尼亚州帕洛阿尔托(Palo Alto)。

                                                                 数学、数学教育与数学方法论。

       这场足球比赛只剩最后几秒钟了。“乔治,往这里踢!”

      “拉斯洛,”乔治喊,“小心你后边,射门!”

      当他的弟弟把球射进门时,乔治高兴地跳起来,裁判员吹响了最后的哨声,乔治第一个跑到弟弟身边,用双手把拉斯洛举在空中,接着他把他扛在肩上,得胜的队员向他俩簇拥过来。

     “拉斯洛,你踢得好,打破了平局,为我们队争了光!”队友尤利乌斯跑到乔治身边,想帮助他减轻负荷。但是,乔治肩上扛着拉斯洛,手舞足蹈地跑开了,不费劲地绕场一周。

      尤利乌斯和其他队员评论说:“拉斯洛一定会成为一名优秀的足球运动员,他个子高,也很壮实。看乔治扛着他弟弟那个轻松劲,显出乔治的体质更壮。”

      “是的,”另一名队员说,“有人说乔治每天把房间里的家具重摆一次,而且是一只手,目的是为了换个式样。”

       乔治•波利亚(乔治是名,波利亚是姓。)身体强壮,喜欢踢足球和摔跤。他的强壮表现在许多方面,或许说主要表现在他能够执著地、坚决地解他所面对的任何问题。

      落在波利亚身上的担子是很重的。他十岁那年,父亲去世了,从此他失去了亲爱的父亲的保护。他和弟弟经常争论和打架,他母亲总是偏向他弟弟拉斯洛。乔治天生就调皮,有时离家出走,以示反抗。通常他会走一段长路,去考察他故乡布达佩斯的街道。在中学,乔治过得很艰苦。他对死记硬背不感兴趣,不过,他却喜欢花时间背诵诗句和动词变化。

      乔治的舅舅阿尔明对他说:“乔治,你为什么不参加国家数学竞赛?我认为你能取得好成绩,也许你还能得到大学的奖学金呢!

      “我知道,你向我说这些都是为我好。阿尔明舅舅,但是,我真的不适合搞数学。我想我该学习语言文学或者像我父亲那样学法律。”

      “噢,这些学科都很好。”阿尔明舅舅赞同地说,“但是,乔治,你喜欢解题,我想,你会爱上数学的。”

      也许是为了满足他舅舅的愿望,波利亚报名参加了埃特沃斯数学竞赛,这项竞赛是以匈牙利杰出的物理学家L.埃特沃斯命名的,这项竞赛的开展使匈牙利产生了一批世界第一流的数学家。

      这次竞赛,波利亚不但没有获胜,甚至连试卷都没有交。波利亚对自己在数学上能否有光明前景感到怀疑,因而到布达佩斯大学学法律去了。

      拉斯洛对此表示同情,“这点我能理解,那么你打算怎么办?”

     “我已经想好了,我的生物学教授是个有趣的老师,我打算试试学习这门学科。”

      波利亚把他的主攻学科改为生物学。没过多长时间,他又厌烦了,再一次转到语言文学上。这使他找到了一门能学好的学科。他完成了学习计划,获得了给低年级学生讲拉丁文和匈牙利文的资格。

      但是,波利亚仍然不满足于他所学的课程,不过这次他不是放弃学习,而是同时学一些哲学课程。他发现自己对哲学概念产生了兴趣。他的教授注意到他的逻辑思维能力,因而建议波利亚在此基础上,学一些物理和数学课程。

       决定波利亚专业的是利波特•费耶尔教的数学课。这位教师不像他曾遇到过的其他教师,他有着令人着迷的个性,还很幽默,教导学生也很认真。黄昏时,他常把学生们聚集在咖啡馆,师生们在一块谈天说地,有说有笑。“我终于明白,我该学数学。”一天,波利亚对拉斯洛说,“我学物理不够好,学哲学又太钻,数学正处于两者中间,它该是我的落脚处。”他还常说,在决定一个人是否喜欢某门学科时,教师起重要作用。他又说:“最有趣的学科若由一个糟糕的老师讲授,它也会变成令人厌烦的。”

       当波利亚理解到数学是多么有趣时,他就满怀热情投身于它的学习。1912年,他获得了布达佩斯大学数学博士学位。

      上大学后,波利亚在维也纳学了一年。为了支付上大学的花费,他还给一个贵族小孩——格雷戈尔担任家庭教师,每周给他讲两次课,帮助他理解数学。

      “我很生气,”波利亚在咖啡馆向一个朋友诉说,“不知道什么原因,教格雷戈尔他没什么进步。无论我怎么努力,他总是不明白:‘解题,要做什么?’”

      波利亚动脑筋寻找一种方法帮助格雷戈尔,他试用新的方式向格雷戈尔解释几何问题。他竭力反思:自己解题时,是怎样利用模式的,又是怎样把题和主要概念相联系的。最后,他对解题的方法作了简单的概述。对于波利亚来说,这是振奋人心的发现,自那以后,他对问题求解的兴趣终生不衰。

      他开始讲述如何解题,不只是为了格雷戈尔,也是为了所有像格雷戈尔一样的学生。波利亚的大多数老师强调记忆,认为:某些程序应该应用于特殊种类的问题;如果不能记住所用的程序,失败是必然的。波利亚则认为:这不是最好的方法。

      不久以后,波利亚完成了他的正规教育。1914年秋,他接受了德国数学家A胡尔维茨的邀请,去苏黎世的瑞士联邦工学院任教,从此开始了他的教学生涯。

       离美丽的树林不远,他找到了一个花费不多却令人喜欢的公寓。于是,他定居于此,这完全适合喜欢步行的波利亚。在这里,他能在联邦工学院刻苦地工作;然后,在树林里作长时间的步行来放松。他有时也与住在这座公寓的年长绅士们玩多米诺牌。这里的老人因此都喜欢和波利亚交往。以往波利亚敲门时,韦伯先生总是大声地说:“请进来。”这天,波利亚敲门,前来开门的却是一位少女,波利亚感到很惊奇,少女则满脸通红。“乔治,”韦伯先生说,“她是我女儿什泰拉。”这两个年轻人有点害羞地笑了,并且握了手。“什泰拉,这就是我说过的那位有才华的年轻数学家。”

      波利亚和什泰拉在韦伯先生的住处见了几次面后,便常一起去树林里散步。1918年,他们结婚了,共同度过了六十个春秋。什泰拉很聪明,是一位通情达理的主妇,她也是一位业余摄影师。当其他数学家来拜访时,什泰拉总忘不了拿起照相机,给他们留影。多少年来,波利亚喜欢向来访者和朋友们展示他们汇集的照片。

      在波利亚结婚之后,一天他在通过树林的一条小道上散步。这是个美丽的早晨,阳光透过树枝的空隙洒下来,他走在用砖铺的路上,有时用手杖敲打着路面。当他走到长得较高的灌木丛时,突然,波利亚撞见一对青年男女正在拥抱,彼此都很窘。

     “我是在捕捉早晨的光辉。”波利亚有些抱歉地解释道。忽然他认出那位男士正是他的学生,便说:“我不认识你。”

      年轻男士很快恢复了镇静,并向他的未婚妻介绍说:“波利亚博士是我们联邦工学院的教授。”

      在更多含混其词的抱歉话之后,彼此有礼貌地说了声再见。波利亚继续向前走,那对年轻人则向另一方向走去。这位教授是那样的仁慈和友好,而那一对年轻人则需要僻静的地方。

       波利亚在弯弯曲曲的小路上,弓着腰走了二十分钟后,这对年轻的恋人,又一次来到了他的面前。

       这对青年会误认为他是侦察他们的吗?

       波利亚把帽子斜了斜,微笑着继续向前走。

       这对情人满脸通红地看了他一眼。

      虽然他们选择了新路线,改变了方向,但是,这个早晨他们在树林里共相遇了五次。

      后来,波利亚把这个故事讲给什泰拉听。

      “你认为我的年轻的学生和他的未婚妻会怎么看我?”他问什泰拉。

     “噢,亲爱的,用不着为此烦恼,他们也许正深陷爱河中,没注意到你和其他任何人。”

     “那倒是真的。记得吗?我们彼此刚相识的时候,我们就喜欢消逝在这些小路上。”他摸着什泰拉的手笑了,“我永远不会蓄意侦察一对相爱的人。通过树林的路网络十分复杂而且伸展得很远。我不明白:为什么我会碰见他们那么多次。”

      波利亚继续思考这件偶然的事:偶然地遇见这对情人的可能性究竟有多大?这段经历引导波利亚去研究他后来称做“随机行走”的问题。他假设:一个现代的城市是由完善的方块组合而成的,一半街道东西方向,另一半南北方向,给定街道的任何一个交叉处为起点,并向四个方向的任何一个方向移动,如果在每一交叉点上,所选择的方向都是随机的,那么回到起点的概率是多少?

      波利亚是个慈祥可爱的人,他竭力不冒犯任何人。二次世界大战前的政治紧张状况,令他伤心。有些人仅因为他们的种族背景而受到侮辱,他深感悲伤。

      波利亚决定迁往美国,他被邀请到斯坦福大学教书。他和什泰拉都爱他们的新学校,很快就和其他教授,他们的家人,以及许多学生成了好朋友。波利亚最著名的著作是《怎样解题》(1954年以英文出版),这本书对问题求解作了实际引导,并被译成15种文字,而且销售量超过了百万册。波利亚的《怎样解题》发表50余年后的今天,问题求解(Problem Solving)已成为一门独立学科,应用面广,十分普及:工程师、科学家、推销员和商店经理从这门学科的学习中得到了好处。

       波利亚在许多数学领域继续进行创造性研究。他在欧洲以及后来在斯坦福大学出版了几部专著和发表了许多论文。他在问题求解方面深刻的洞察力使他享有盛名。他说:“解题要注意具体例子,还要用模式核实。如果一个问题太难,就要先想一个比较容易的题,然后考察如何解这个问题。”他反复强调解题方法比答案重要得多。波利亚把自己的经验传授给学生们——要先作个猜想,然后再检验它。他常常提醒我们:“最好用五种不同的方法解一道题,然后去解五个不同的题。”

       波利亚发现许多学生不知道如何去解题,于是他提出自己的设想。他告诉斯坦福大学的同事:“我有一个想法,我要向诸位展示,如何帮助学生解题。我要唤醒学生的激情,并且让学生十分满意。”

       大多数教授到了他这个年龄,都退休了,G.波利亚却仍在实现自己的新计划,要帮助教师教好数学,而且很有成效。成千上万的人,利用暑假来到这位大师身边学习。他们发现波利亚不仅是一位大数学家,还是一位能够与之谈心的朋友。他复制了数学发现的激发过程,尤其受到人们的赞扬。当波利亚站在讲台上引导学生,一步一步地得到令人惊讶的简单的解时,他内心无比喜悦。

<转载于培杰国际数学文化>

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发表于 2015-3-6 19:00:12 | 显示全部楼层
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