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五金牌班课堂练习中的一题再探索

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发表于 2014-10-27 09:00:43 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 meidun 于 2015-1-4 20:18 编辑

3.一列整数,每一个都比下一个数大2.如果前若干项的和为1155,。则首项的最小值是多少?

显然这是一个连续奇数列,383+385+387=1155,所以,首项最大为387.  227+229+231+233+235=1155,首项第二大为235.  ......联想到1+3+5+......+67=34^2=1156,1156-1=1155,我们得出3+5+7+......+67=1155,所以首项的最小值是67.
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发表于 2014-10-27 13:53:09 | 显示全部楼层
若干项必须是奇数
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发表于 2014-10-27 19:09:19 | 显示全部楼层
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发表于 2014-10-27 22:19:51 | 显示全部楼层
楼主的方法是最佳方法。
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发表于 2014-10-27 22:25:54 | 显示全部楼层
深入研究,可以发现,公差2,奇数等差数列的和,可以表示为a2⃣️-b2⃣️=(a+b)(a-b),因此可以将和分解质因数……
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发表于 2014-11-20 15:59:38 | 显示全部楼层
我的做法对小朋友来说可能有点复杂:
设首项为A1, 有n项,则 An = A1 - 2*(n-1). 前n项的和是 [A1 + A1 - 2*(n-1)]/2 = 1155, 经过变换,可以得到 A1 = (3*5*7*11)/n + n - 1,因为等式右边前两项的积一定,要是A1最小,则根据最大最小原则,这两项应该最近接,这里 5*7 和 3*11最接近,所以,A1 = 3*11 + 5*7 - 1 = 67。
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 楼主| 发表于 2014-11-21 08:03:40 | 显示全部楼层
bzhou 发表于 2014-11-20 15:59
我的做法对小朋友来说可能有点复杂:
设首项为A1, 有n项,则 An = A1 - 2*(n-1). 前n项的和是 [A1 + A1 -  ...

表达严密的解,好,小朋友可以努力想明白的。努力了,可以有更大收获!
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 楼主| 发表于 2014-11-21 08:04:06 | 显示全部楼层
bzhou 发表于 2014-11-20 15:59
我的做法对小朋友来说可能有点复杂:
设首项为A1, 有n项,则 An = A1 - 2*(n-1). 前n项的和是 [A1 + A1 -  ...

表达严密的解,好,小朋友可以努力想明白的。努力了,可以有更大收获!
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 楼主| 发表于 2014-11-21 08:04:32 | 显示全部楼层
bzhou 发表于 2014-11-20 15:59
我的做法对小朋友来说可能有点复杂:
设首项为A1, 有n项,则 An = A1 - 2*(n-1). 前n项的和是 [A1 + A1 -  ...

表达严密的解,好,小朋友可以努力想明白的。努力了,可以有更大收获!
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发表于 2014-11-21 08:50:14 | 显示全部楼层
补充一下:
A1 = (3*5*7*11)/n + n - 1 同样可以推出A1的最大值。显然 n = 3 时有最大值 387.

当然这里有个隐含的要求(一列整数): n > 1. 如果n可以等于1,则显然A1就是1155了。

延伸一下,这个若干项即n的可能取值有几种? 因为A1是整数,所以 n 应该是 (3*5*7*11)的约数,有16个可能取值(允许n = 1)。但是有些取值可能导致某些 Ai 为负整数。
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