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[几何] 祖暅原理

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发表于 2014-10-24 10:09:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
祖暅原理

        亦名祖氏原理,一个涉及几何求积的著名命题。公元656年,唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”。“幂”是截面积,“势”是立体的高。意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等。更详细点说就是,界于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积恒相等,则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅原理。        等积原理的发现起源于《九章算术》中的答案是错误的。他提出的难方法是取每边为1寸的正方体棋子八枚,拼成一个边长为2寸的正方体,在正方体内画内切圆柱体,再在横向画一个同样的内切圆柱体。这样两个圆柱所包含的立体共同部分像两把上下对称的伞,刘徽将其取名为“牟合方盖”。(古时人称伞为“盖”,“牟”同侔,意即相合。)根据计算得出球体积是牟合方盖体的体积的四分之三,可是圆柱体又比牟合方盖大,但是《九章算术》中得出球的体积是圆柱体体积的四分之三,显然《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。刘徽认为只要求出牟合方盖的体积,就可以求出球的体积。可怎么也找不出求导牟合方盖体积的途径。
        祖暅沿用了刘徽的思想,利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算,得出“幂势相同,则积不容异”的结论。“势”即是高,“幂”是面积。
在西方,球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现,但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出的,且比阿基米德的内容要丰富,涉及的问题要复杂。二者有异曲同工之妙。根据这一原理就可以求出牟合方盖的体积,然后再导出球的体积。
这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积上面。在西方,直到17世纪,才由意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中,提出了等积原理,所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实,他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。
半球体积的计算
由祖暅原理,半球与一个拥有与半球体相同横切面积和高的立体,即圆柱体中间切去一个圆锥体体积相同。
容易得体积为2/3×π×r^3(三分之二乘派乘半径的三次方)。


附:牟合方盖和祖氏原理
       圆锥体体积公式的证明

圆锥体体积公式的证明.pdf

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