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拿破仑定理

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发表于 2014-10-24 09:55:00 | 显示全部楼层 |阅读模式
拿破仑定理

        拿破仑定理(法语:Napoléon Bonaparte):“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形,则他们的中心构成一个等边三角形。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形,结论是同样成立的。
        该定理由拿破仑发现。
QQ截图20141024102345.png
        拿破仑定理:向任何三角形三边分别向外侧作等边三角形,然后把这三个正三角形的中心连结起来所构成的三角形一定是等边三角形。
        这一定理可以等价描述为:若以任意三角形的各边为底边向形外作底角为60°的等腰三角形,则它们的中心构成一个等边三角形.
QQ截图20141024102447.png
证明:
在△ABC的各边上向外各作等边△ABD,等边△ACF,等边△BCE。
如何证明:这3个等边三角形的外接圆共点?
思路:利用四点共圆来证明三圆共点。这是证明拿破仑定理的基础。
证明:设等边△ABD的外接圆和等边△ACF的外接圆相交于O;连AO、CO、BO。
∴ ∠ADB=∠AFC=60°;
∵ A、D、B、O四点共圆;A、F、C、O四点共圆;
∴ ∠AOB=∠AOC=120°;
∴ ∠BOC=120°;
∵ △BCE是等边三角形
∴ ∠BEC=60°;
∴ B、E、C、O四点共圆;
∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。
结论:因为周角等于360°,所以,∠AOB=∠AOC=120°时,∠BOC就等于120°;用四点共圆的性质定理和判定定理来证明三圆共点的问题

QQ截图20141024102047.png
拿破仑定理第三证明图
以任意三角形的三边为边向外作等边三角形,则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。
求证:上面3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形?
思路:利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。
证明:设等边△ABD的外接圆⊙N,等边△ACF的外接圆⊙M,等边△BCE的外接圆⊙P
相交于O;连AO、CO、BO。
∵ A、D、B、O四点共圆;
A、F、C、O四点共圆
B、E、C、O四点共圆
∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°;
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°;
∵ NP、MP、MN是连心线;
BO、CO、AO是公共弦;
∴ BO⊥NP于X;
CO⊥MP于Y;
AO⊥NM于Z。
∴ X、P、Y、O四点共圆;
Y、M、Z、O四点共圆;
Z、N、X、O四点共圆;
∴ ∠N=∠M=∠P=60°;
即△MNP是等边三角形。
拓广:
四边形上,类似的定理为凡·奥贝尔定理。
拿破仑定理本身为佩特诺-伊曼-道格拉斯定理的特例。
内拿破仑三角形的面积大于等于 0 给出外森比克不等式。




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发表于 2014-10-24 10:02:14 | 显示全部楼层

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我来收金币了
唯一看透真相的是一个外表看似个小孩,智慧却过于常人的名侦周薇妮
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发表于 2015-4-3 17:38:46 | 显示全部楼层
长知识了
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发表于 2015-4-3 19:20:59 | 显示全部楼层
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