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[几何] 等周定理

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发表于 2014-10-24 09:48:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
等周定理


        等周定理,又称等周不等式,是一个几何中的不等式定理,说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。        其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中,以圆形的面积最大;另一个说法是面积相等的几何形状之中,以圆形的周界长度最小。它可以以不等式表达:若P为封闭曲线的周界长,A为曲线所包围的区域面积,4πA≤P2
虽然等周定理的结论早已为人所知,但要严格的证明这一点并不容易。首个严谨的数学证明直到19世纪才出现。之后,数学家们陆续给出了不同的证明,其中有不少是非常简单的。等周问题有许多不同的推广,例如在各种曲面而不是平面上的等周问题,以及在高维的空间中给定的“表面”或区域的最大“边界长度”问题等。
        在物理中,等周问题和跟所谓的最小作用量原理有关。一个直观的表现就是水珠的形状。在没有外力的情况下(例如失重的太空舱里),水珠的形状是完全对称的球体。这是因为当水珠体积一定时,表面张力会迫使水珠的表面积达到最小值。根据等周定理,最小值是在水珠形状为球状时达到。
        平面上的等周问题是等周问题最经典的形式,它的出现可以追溯到很早以前。这个问题可以被表述为:在平面上所有周长一定的封闭曲线中,是否有一个围成的面积最大?如果有的话,是什么形状?另一种等价的表述是:当平面上的封闭曲线围成的面积一定时,怎样的曲线周长最小?
        虽然圆看似是问题的表面答案,但证明此事实其实不易。首个接近答案的步骤出现在1838年——雅各·史坦纳以几何方法证明若答案存在,答案必然是圆形。不久之后他的证明被其他数学家完善。
        其方法包括证明了不完全凸的封闭曲线的话,能以“翻折”凹的部分以成为凸的图形,以增加面积;不完全对称的封闭曲线能以倾斜来取得更多的面积。圆,是完全凸和对称的形状。可是这些并不足以作为等周定理的严格证明。
1901年,赫尔维茨凭傅里叶级数和格林定理给出一个纯解析的证明。


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发表于 2014-10-24 10:02:39 | 显示全部楼层

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哈哈,沙发
唯一看透真相的是一个外表看似个小孩,智慧却过于常人的名侦周薇妮
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发表于 2014-10-24 10:54:44 | 显示全部楼层
楼上的,又看见你了  你无处不在啊
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发表于 2015-3-9 17:48:46 | 显示全部楼层
长知识了
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