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[数学综合] 数学与选举:美国总统大选的背后

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发表于 2016-11-24 17:38:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
特朗普在11月8日美国大选中获得了第45任美国总统职位入主白宫。
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美国总统大选如同一场数学竞赛

美国总统选举过程漫长而复杂,由于美国采取的不是一人一票的直接民主,而是有复杂计算的间接民主,初选时每个州都有自己的投票规则,党代表票的计算方式也相当错综复杂。因此,美国总统大选可以说更像一场数学竞赛。
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在“奇葩”的大选初选阶段,美国50个州,每个州都有自己的规则,有的州是安静排队投票(Primary),有的州则是像辩论大会那样的党团会议(Caucus)。投票后,每个州的计票方式也不一样,搞到后来甚至投硬币也能决定!     
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由于美国实行间接民主,因此老百姓的票其实是间接地投给了党代表们,而不是直接投给总统参选人,这计算就更复杂了,每一个州都不太一样。以今年4月怀俄明州的民主党初选为例,当地人民的投票结果显示桑德斯狂胜希拉里12个百分点,但最后,输掉的希拉里却拿到跟桑德斯一样多的党代表票,计算方式实在是错综复杂,说多了都是泪……   
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选举结果是对选民意见的反映吗?

每到大选,美国社会各界就全体总动员。政治家当然是到处拉选票,各大媒体更是评论加民意调查加八卦候选人,各种招数都使出来吸引眼球。连不食人间烟火的数学家也不例外。
2008年初的美国数学年会就有一个关于选举中的数学问题的报告,临近大选的那一期数学会刊又有一篇相关文章。文章中的一些例子很容易对大众讲清楚,我这里就把它们整理出来与大家分享。
主要结论是:在竞选者实力接近的时候(各方支持者数量差不多),选举结果只是对选举规则的反映,而不一定是对选民意见的反映。
什么叫对选举规则的反映?这结论听起来怎么有点违背常理。要说清楚这个问题,我们先来看一个例子。
假设有三个候选人A,B,C。11个人来投票,每个投票人列出他们对这三个人的支持程度,也就是给这三个人排一个从支持到不支持的序。结果如下:
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如果选举规则是每人只选一个人,根据上面列出的表我们可以看出A会赢。只选一个人的结果是A>C>B(得票依次是5,4,2)。如果选举规则是每人可以选两人,然后再从前两名中挑出得票最多的(相当于初选加复选),我们可以看到其结果是B>C>A(得票依次是9,8,5)。这个例子说明,同样的选民,同样的意向,因为选举规则的不同可以得出完全相反的结论。还有一些地方(比如欧洲一些地方的选举)对意向采用Borda加权(起始于1770年)。

对每个意向表,第一名得两分,第二名得一分。最后把每个人的得分加起来看谁的分多谁当选。如果对上面的意向表采用这个Borda加权,我们得出另一个不同的结果C>B>A(依次得分是12,11,10)。如果用另外的加权方法,我们还可以得出别的不同结果。

同样的意向表,不同的加权,到底会产生多少个不同的结果?有定理说:
对N个候选人,存在一个意向表使得不同的加权会产生(N-1)*(N-1)!个不同的结果。

显然,对加权的限制是前面的权要大于等于后面的权。另外还要求最后一名的权是0。在这种条件下,如果有10个候选人(比如美国的总统初选),同样的意向表可以产生超过三百万种不同的结果。

有人说数学上证明的存在例子都是人为造出来的特殊情况,实际选举出现这种特例的机会是不多的。对这些怀疑者正好有另一个定理等在那里回答。该定理说:如果有三个候选人,他们的支持度差不多(没有人有特别大的优势),则有大于三分之二的可能性(实际数是69%)选举规则会改变选举结果。

三分之二可不是一个小数,比一半大多了。也就是说当各方实力接近的时候,选举规则会改变选举结果的时候比不会改变结果的时候多一倍。
以2008年的大选为例,如果把全体美国人的意向列一个意向表,我们几乎可以肯定不同的规则会产生不同的结果。也就是说对这个意向表不同的加权可以产生希拉里赢,或者奥巴马赢,或者麦凯恩赢。
这种现象并不只在选总统的时候出现,在日常生活中也会冒出来,甚至影响到你自己。比如你去面试一个工作,总共四个面试者,A,B,C,D。四个人每个人做一个报告。听报告的一共30个人。听完报告后这30个给出每人的意向表,结果如下:
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假设你是D,根据这个意向表,你就没有戏了。因为只有一个位置,所以只有一个人能得到。按第一票算,其次序是A>B>C>D(得票依次是9,8,7,6)。显然A胜。正当他们准备打电话通知A面试成功的时候,C打电话来说他弃权,因为他已经接受了另一个工作。初看起来,C排第三,他的弃权对只选一个人的结果不会有影响。其实不然,如果你把上面的意向表中的C都去掉,你会发现结果完全不同了。因为C的7票有2票给了B,5票给了你(D)。最后的结果是D>B>A(得票依次是11,10,9)

如此的例子还有很多,单就上面的这个例子看,任何一个人弃权都会改变结果的次序。对这样的混乱现象有人用混沌来形容。

最后再回到开始的那句话:在竞选人实力差不多的情况下,选举结果是对选举规则的反映,而不一定是对选民意向的反映。

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发表于 2017-1-8 02:20:01 | 显示全部楼层
很有意思,谢谢分享!!
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