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[四年级] 分式方程 解题技巧

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发表于 2016-11-8 09:24:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
1、分式方程的概念:分母里含有未知数的方程叫做分式方程.

  说明:理解分式方程的定义,并不是看方程是否有分母,而是看分母中是否含有未知数.

  例:分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛都是分式方程.而关于x的方程分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛不是分式方程.

2、解分式方程的基本思想

  我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程的解法,解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想与前者相同,就是设法将分式方程“转化”为整式方程,即

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二、重难点知识归纳及讲解


1、解分式方程的方法

(1)去分母法

  去分母法是解分式方程的一般方法.在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,约去分母,把分式方程化为整式方程.因此解分式方程必须验根.为了检验方便,可把整式方程的根分别代入最简公分母,如果使最简公分母为0,则这个根叫分式方程的增根,必须舍去.如果使最简公分母不为0,则这个根是原分式方程的根.

  注意:增根是所得整式方程的根,但不是原分式方程的根.

  用去分母法解分式方程的一般步骤:

  (Ⅰ)把原方程的分母因式分解,找出最简公分母;

  (Ⅱ)去分母,把分式方程转化为整式方程.

  (Ⅲ)解所得的整式方程.

  (Ⅳ)验根.

(2)换元法

  在解代数问题时,对于某些难度较大的问题,可通过添设辅助元素解决,辅助元素的添设是把原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.

  用换元法解分式方程的一般步骤:

  (Ⅰ)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式表示原方程中的代数式.

  (Ⅱ)解关于辅助未知数的方程.

  (Ⅲ)把辅助未知数的值代入“设”中,求出原未知数的值.

  (Ⅳ)验根并做答.

  说明:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是通过换元把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为一个比较简单的方程.

  (2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法.

  (3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤.

2、解分式方程产生增根的原因及验根的方法

  在解分式方程时,我们在方程的两边同乘了含有未知数的代数式,从而把分式方程变换为整式方程.因此,原来分式方程中分母不为零的限制被无形地取消了,这样就使未知数的取值范围扩大了——就产生了增根的可能.所以解分式方程必须验根.

  验根的方法是:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零(即是否符合“分母不为零”的限制),如果分母不为零,则被验的根就是分式方程的根;如果使分母为零,则这个根就是增根,必须舍去.

3、列分式方程解应用题的一般步骤

  (1)设未知数;

  (2)找出等量关系,列出分式方程;

  (3)解分式方程;

  (4)验根作答(不但要检验是否为方程的增根,还要检验是否符合题意,即“双重验根”.)


三、解题方法技巧点拨


1、用去分母法解方程

例1、解下列方程

  (1)(黄冈市中考题)分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛;

  (2)(北京市海淀区中考题)分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

分析:

  所考知识点是用去分母的方法解分式方程.两个方程可用去分母方法来解.

解答:

  (1)先找它们的最简公分母,∵2-x=-(x-2),(x2-4)=(x+2)(x-2),所以最简公分母为(x+2)(x-2);

  原方程即为-分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,

  两边同乘以(x+2)(x-2),约去分母整理得x2-3x+2=0.

  解这个方程,得x1=1,x2=2.

  经检验,把x=1代入(x+2)(x-2),它不等于0,所以x=1是原方程的根;

  把x=2代入(x+2)(x-2)中,它等于0,所以x=2是增根.

  ∴x=1是原方程的根.

  (2)原方程化为分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,

  用3x(x-1)乘以方程的两边,去分母,得

  3(x+1)-(x-1)=x(x+5),

  整理得x2+3x-4=0,

  解得x1=-4,x2=1.

  检验:把x1=-4代入3x(x-1)≠0,所以x=-4是原方程的根;

  把x=1代入3x(x-1)=0,所以x=1是原方程的增根.

  ∴原方程的根是x=-4.

  点拨:解题规律是通过去分母,把分式方程转化为整式方程求解,由于在解分式方程时可能产生增根,所以必须要检验,对于增根要舍去.

2、用换元法解分式方程

例2、解方程组分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛

解答:

  设分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛

  分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛

  点评:注意观察本题的特点,将分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,再进行换元.

例3、解下列分式方程

  (1)(四川省内江市中考题)分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  (2)(河南省中考题)分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

分析:

  若用去分母的方法解分式方程,便得到一个四次方程,增加了解题的难度.仔细观察这两个分式方程的特点,可采用换元法较简便.

解答:

  (1)原方程可化为分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,

  设分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛

  ∴原方程可化为:分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,

  ∴y2-5y+6=0,

  解得y1=2,y2=3.

  当y1=2时,则分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,解得x1=1,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛;

  当y2=3时,则分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,解得分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  经检验,x1,x2,x3,x4都是原方程的根.

  ∴原方程的根为x1=1,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  (2)原方程可化为

  分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛

  设分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,则原方程变形为y2-3y-4=0,

  解得y1=4,y2=-1.

  当y=4时,即分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,所以x2-4x+1=0,

  解之得分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛;

  当y=-1时,即分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,去分母,整理得x2+x+1=0,此方程无实数根.

  经检验,x1,x2都是原方程的根.

  ∴原方程的根是分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  点评:用换元法解分式方程应结合方程本身的特征进行换元.注意观察方程中的各代数式是否具有相同、成比例、互为倒数等特征,巧设未知数,如第(2)小题应熟悉分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛这一代数变形.

3、含字母系数的分式方程的解法

例4、解关于x的方程分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

分析:

  此方程是含字母系数的分式方程,其中x是未知数,a是字母系数,此方程不具备换元条件,所以选用去分母法,它的最简公分母为2a(-x+a)即2a(a-x).

解答:

  方程两边都乘以2a(a-x),得2ax+2(a+x)(a-x)=5a(a-x),

  整理,得2x2-7ax+3a2=0,

  解得x1=3a,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  检验:由原方程可知-x+a≠0,a≠0,否则原分式方程就没有意义了.

  ∵当x=3a时,2a(a-x)=-4a2≠0,

  当分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛时,2a(a-x)=a2≠0.

  ∴原方程的根为x1=3a,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  点悟:解含有字母系数的分式方程的方法与解数字系数的分式方程的方法是相同的,但是要特别注意从题目的隐含条件中识别字母系数的取值范围并根据具体情况进行讨论.

例5、解关于x的方程:分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

分析:

  方程中只有x是未知数,而a、b都是表示已知数的字母,解方程时,可把它看作已知数对待,本题可选用换元法解,因为分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛互为倒数.

解答:

  设分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,则原方程转化为分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,

  去分母、整理,得y2-5y+4=0.

  ∴y1=1,y2=4.

  当y1=1时,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,解得分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  当y2=4时,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,解得分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  检验:把分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛代入最简公分母(b+x)(a-x),

  分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  ∵a+b≠0,∴(b-x)(a-x)≠0.

  把分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛代入最简公分母(b+x)(a-x),

  分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  ∵a+b≠0,∴(b+x)(a-x)≠0.

  ∴原方程的根是分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  点评:(1)不是任何一个方程都能用换元法解.能用换元法解的方程必须具有换元特点,即换元以后,原方程化为只含有辅助未知数的方程,这就是说,换元以后的方程中不能含有原来的未知数.

  (2)分式方程解法的选择是先观察方程是否具有换元的特点(一般情况下,方程中具有平方关系或倒数关系),如有换元特点,选择换元法解;如没有换元特点,一般选去分母法解.

  (3)无论用什么方法解分式方程,都必须验根.

  (4)解字母系数的分式方程和数字系数的分式方程方法相同.

4、有关增根问题的解法

例6、若分式方程分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛有增根x=2,求a的值.

分析:

  将方程分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2),得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0,若分式方程有增根x=2,则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根,代入之即可求出a.

解:

  原分式方程去分母,得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0.

  把x=2代入所得方程,得4a+1+0=0,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  ∴分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛时,x=2是原分式方程的增根.

  点拨:分式方程的增根有两个要点,第一它必须是由分式方程转化成的整式方程的根;第二它能使原分式方程的最简公分母等于0.正确理解增根的概念,对解决有关增根的问题非常重要.

5、列分式方程解应用题问题

(1)工程问题

例7、一个水池有甲乙两个进水管,甲、乙两水管同时开放,6小时将水池注满;单独开放甲水管,比单独开放乙水管少用5小时就注满水池,求单独开放甲管和单独开放乙管各需多少小时才能注满水池?

分析:

  由题意可知,这是注水问题,也属于工程问题,此题可将总工程看作整体“1”,即注满水池的总工作量为1,设单独开放乙管注满水池,需要x小时,则单独开放甲管注满水池需要(x-5)小时,根据基本等量关系:分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛可知,乙管和甲管的工作效率分别为分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,又根据题中的相等关系:甲、乙同时开放6小时,可列出方程分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

解:

  设单独开放乙管x小时注满水池,则单独开放甲管注满水池需(x-5)小时,根据题意,得分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,

  解得x1=15,x2=2.

  经检验x1=15,x2=2都是所列方程的根,但x2=2不符合题意,舍去.

  ∴x=15,x-5=10.

答:单独开放甲管需10小时注满水池,单独开放乙管需15小时注满水池.

  点悟:列方程解应用题的一般步骤都是“设”、“列”、“解”、“检验”、“答”,但如果所列的方程是分式方程,那么检验时必须进行“双检”,既要检验是否有增根,又要检验求得的解是否符合题意.

(2)行程问题

例8、甲、乙两地间的路,有一部分是上坡路,其余是下坡路,邮递员骑自行车从甲地到乙地需2小时40分,从乙地回到甲地少用20分钟,已知他骑自行车走下坡路比走上坡路多走6千米,又甲、乙两地之间路程为36千米,求他骑自行车上下坡的速度以及甲地到乙地上、下坡的长度.

分析:

  本题是一般行程问题,其等量关系是:路程=速度×时间,关键应注意,邮递员从甲地到乙地是先上坡后下坡,而从乙地回到甲地也是先上后下,如图所示.本题设两个未知数比较方便.

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解:

  设上坡速度为x千米/时,则下坡速度为(x+6)千米/时;又设甲地到乙地上坡为y千米,则下坡为(36-y)千米,

  依题意,得分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛

  ①+②得分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛,

  整理,得5x2-42x-6×36=0,

  ∴(x-12)(5x+18)=0,

  ∴x1=12,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  ∵速度不能为负值,∴x2不符合题意,舍去.∴只取x=12.

  把x=12代入①得 分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  ∴y=24 36-y=12

答:(略)

  点评:在求解的过程中,发现分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛不符合题意,就及时将其舍去,省去了将分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛代入方程①求y的值的过程.

例9、A、B两地间的路程为15km,早晨6时整,甲从A地出发步行前往B地,20min后,乙从B地出发骑车前往A地,乙到达A地后停留40min.然后骑车按原路原速返回,结果甲、乙两人同时到达B地,如果乙骑车比甲步行每小时多走10km,问几点钟甲、乙两人同时到达B地?

分析:

  本题可以从两个角度考虑:(1)用时间做相等关系:甲步行15km所用的时间比乙骑车走30km所用的时间多(20min+40min)=1h.

  (2)用速度做相等关系,乙的速度-甲的速度=10km.

解法一:

  设甲步行每小时走xkm,则乙骑车每小时走(x+10)km.

  由题意得分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛

  整理得x2+25x-150=0

  解得x1=5,x2=-30

  经检验:x1=5,x2=-30都是原方程的根,但x=-30不符合题意,舍去.∴x=5.

  ∴甲走15km用的时间为15÷5=3h.

  ∵甲早6时出发,∴9时到B地.

答:上午9时整,甲、乙两人同时到达B地.

解法二:

  设甲从A地到B地步行所用时间为x h,则乙往返B、A两地骑车用的时间为(x-1)h.

  由题意得 分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛

  整理得2x2-5x-3=0,

  解得x1=3,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.

  经检验:x1=3,分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛都是原方程的根,但分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛不合题意,舍去.∴x=3.

  ∵甲早6时出发,∴9时到B地.

答:略.
我要学习!
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发表于 2016-11-13 15:35:49 | 显示全部楼层
此帖子不完整
例如“例1、解下列方程

  (1)(黄冈市中考题)分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛;

  (2)(北京市海淀区中考题)分式方程 解题技巧 - 千千 - 宜昌家庭教育论坛.
题目没有,下面的分析有什么用。看了摸不着头脑。
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发表于 2016-11-29 08:51:21 | 显示全部楼层
这样看贴很晕的
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