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[古代史] 古代数学的光辉业绩:中国剩余定理

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发表于 2016-10-11 17:07:37 | 显示全部楼层 |阅读模式

我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二。问物几何?”这里的几何指多少的意思。翻译成数学语言就是:求正整数N,使N除以3余2,除以5余3,除以7余2。
如何求符合上述条件的正整数N呢?《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰:“三、三数之剩二,置一百四十;五、五数之剩三,置六十三;七、七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三。以二百一十减之,即得。凡三、三数之剩一,则置七十;五、五数之剩一,则置二十一;七、七数之剩一,则置十五。一百六以上,一百五减之,即得。”
过了一千多年,到了十六世纪,数学家程大位在他所著的《算法统宗》里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。三人同行七十稀, 五树梅花廿一枝,七子团圆正月半,除百零五便得之。
歌诀的前三句给出了三组数,后一句给出了一个数:
3    705    217    15105
三组数的共同特征是:70除以3余1,除以5、7余0; 21除以5余1,除以3、7余0; 15除以7余1,除以3、5余0。
首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。然后,他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。
2×70满足原题第一个余数条件,且被5、7整除。
3×21满足原题第二个余数条件,且被3、7整除。
2×15满足原题第三个余数条件,且被3、5整除。
统统相加得和:N=2×70+3×21+2×15=233。
N必然满足原题所有三个余数条件。但N不一定是最小的。歌诀最后一句“除百零五便得知”,这里“除”的意思是“减”,意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。这个23就是问题的最小解。这最后一句也可以理解为N除以105的余数就是问题的最小解。
中国古代数学有一个传统,总是以具体的数量关系表示一般的规律。把中国剩余定理译成数论术语就是:设m₁、m₂、m₃是两两互质的正整数,对任意给定的整数a₁、a₂、a₃,必存在整数,满足:
x≡a₁ (mod m₁),x≡a₂ (mod m₂),x≡a₃ (mod m₃)。
并且满足上列方程组的解x(mod m1m2m3)是存在唯一的。
上面定理的表述是为方便或为忠于《孙子算经》,我们只写出含三个余数的情形,其实,这个定理对n个余数是通用的。
这个算法,给出了这类问题的非常简捷的一般解法。这个算法,具有非凡的数学思想,并对数论、代数产生了重要影响,中国称此算法为“孙子定理”,国际上称此为“中国剩余定理”。这是中国数学对世界数学最重要的贡献之一。中国剩余定理除本身的重要性之外,它还提示人们,要解决较复杂的问题,最好把它分解为几个易解的子问题;把问题各不相同的条件化成标准的条件,然后用标准的、统一的方法去处理。这是两种重要的数学思想。
南宋数学家秦九韶在他的《数书九章》中推广了“物不知数”问题,提出了计算“乘率”的方法——“大衍求一术”,使解决一次同余式问题的方法形成系统化的数学理论。
在西方,直到十八世纪,瑞士的欧拉与法国的拉格朗日才对同余式问题进行系统的研究。十九世纪的第一年,德国的高斯在《算术探究》一书中,才提出解决这类问题的方法——剩余定理,并给出了严格证明,被后人称为“高斯定理”。1852年英国基督教士伟烈亚力在《字林西报》上发表了《中国科学的记述》,介绍《孙子算经》中的“物不知数”题,并第一次解释了“大衍求一术”,并指出它实质上和高斯定理是一致的。当时,德国著名数学家康托尔称赞秦九韶是“最幸运的天才”,秦九韶推广了“中国的剩余定理”,为我国和世界数学史增添了光彩。

好学不倦,因而从中养成了认真、细致、精核、严谨的精神。他不仅深入实际,搜集问题,而且帮助群众解决问题。
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