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[几何] 古希腊三个著名问题之一的三等分角

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发表于 2014-10-15 13:43:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
古希腊三个著名问题之一的三等分角
        古希腊三个著名问题之一的三等分角,现在美国就连许多没学过数学的人也都知道.美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员,每年总要收到许多“角的三等分者”的来信;并且,在报纸上常见到:某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题.这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个,因为二等分角是那么容易,这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢?
         用欧几里得工具,将一线段任意等分是件简单的事;也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时,提出了三等分角问题;也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的,在那里,要三等分一个60°角.
         在研究三等分角问题时,看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题.任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角.考虑过B点的一条线,它交CA于E,交DA之延长线于F,且使得EF=2(BA).令G为EF之中点,则 EG=GF=GA=BA,
从中得到:
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC,
并且BEF三等分∠ABC.因此,这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间,作一给定长度2(BA)的线段EF,使得EF斜向B点.
         如果与欧几里得的假定相反,允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA),然后调整直尺的位置,使得它过B点,并且,E’在AC上,F’在DA的延长线上;则∠ABC被三等分.对直尺的这种不按规定的使用,也可以看作是:插入原则(the insertionprinciple)的一种应用.这一原则的其它应用,参看问题研究4.6.
         为了解三等分角归结成的斜向问题,有许多高次平面曲线已被发现.这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线.设c为一条直线,而O为c外任何一点,P为c上任何一点,在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k.于是,当P沿着c移动时,Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上,只是该蚌线的一支).设计个画蚌线的工具并不难①,用这样一个工具,就可以很容易地三等分角.这样,令∠AOB为任何给定的锐角,作直线MN垂直于OA,截OA于D,截OB于L(如图32所示).然后,对极点O和常数2(OL),作MN的蚌线.在L点作OA的平行线,交蚌线于C.则OC三等分∠AOB.
         借助于二次曲线可以三等分一个一般的角,早期希腊人还不知道这一方法.对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus,约公元300年).利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4.8中可以找到.
        有一些超越(非代数的)曲线,它们不仅能够对一个给定的角三等分,而且能任意等分.在这这样的曲线中有:伊利斯的希皮阿斯(Hippias,约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral ofArchimeds).这两种曲线也能解圆的求积问题.关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用,见问题研究4.10.
       多年来,为了解三等分角问题,已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规.①参看R.C.Yates.The Trisection Prolem.其中有一个有趣的工具叫做战斧,不知道是谁发明的,但是在1835年的一本书中讲述了这种工具.要制做一个战斧,先从被点S和T三等分的线段RU开始,以SU为直径作一半圆,再作SV垂直于RU,如图33所示.用战斧三等分∠ABC时,将这一工具放在该角上,使R落在BA上,SV通过B点,半圆与BC相切于D.于是证明:△RSB,△TSB,△TDB都全等,所以,BS和BT三等分给定的角.可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧,然后调整到给定的角上.在这种条件下,我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧,则可以五等分一个角).
        欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角,但是用这些工具的作图方法,能作出相当好的近似的三等分.一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A.丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法.取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34),设C为弦AB的靠近B点的三等分点.在C点作AB的垂线交圆于D.以B为圆心,以BD为半径,作弧交AB于E.设令F为EC的靠近E点的三等分点,再以B为圆心,以BF为半径,作弧交圆于G.那么,OG就是∠AOB的近似的三等分线.我们能够证明:三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大;但是,对于60°的角大约只差1〃,对于90°角大约只差18〃.
        只要放弃「尺规作图」的戒律,三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米得(前287-前212)发现只要 在直尺上固定一点,问题就可解决了。现简介其法如下:在直尺边缘上添加一点P,命尺端为O设所要三等分的角是ACB,以C为圆心,OP为半径作半圆交角边于AB;使O点在CA延在线移 动,P点在圆周上移动,当尺通过B时,连OPB。由于OPPCCB,所以COBACB3

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发表于 2014-10-16 10:58:03 | 显示全部楼层
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发表于 2014-10-21 13:51:48 | 显示全部楼层

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唯一看透真相的是一个外表看似个小孩,智慧却过于常人的名侦周薇妮
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发表于 2014-10-23 16:02:47 | 显示全部楼层
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发表于 2016-1-12 18:30:22 | 显示全部楼层
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