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[数学综合] 喝杯啤酒也有几何学?

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发表于 2016-6-29 14:03:22 | 显示全部楼层 |阅读模式
20 世纪,心理学家 Jean Piaget 曾提出了著名的认知发展理论。他发现,小孩儿明显缺乏对物体体积的认知能力。把缸子里的水倒进一个细杯子里,水位明显上升了,小孩子们便会手舞足蹈地说,哇,水变多了耶!

不过,实际经验告诉我们,成年人似乎也好不到哪儿去。在感知不同形状的物体体积时,人们似乎有一种天生的障碍。如果用一个横截面积更小的杯子来喝酒,别人或许会真的以为你喝得更多呢!
细而高的杯子看上去就是大些
  问题的关键在于半径与体积的关系上:半径扩大到原来的 n 倍,横截面积会扩大到原来的 n2倍。为了让圆柱体的体积保持不变,它的高度必须要缩小到原来的 1/n2 。
同样地,把一个圆柱体的半径缩小 1/10,看上去似乎是微不足道的;然而,要想让圆柱体的体积保持不变,高度必须要增加到原来的 1/(0.9*0.9),大约是 1.23 倍。从视觉上看,23% 的高度变化要比 10% 的半径变化明显得多,于是乍看上去体积似乎变大了。
640.webp (5).jpg 左边那个圆柱体的体积看上去是不是更大一些呢?其实,这三个圆柱体的体积是相同的。

杯子上部的空间比你想象的更大
下图是一个酒杯,里面的酒没有倒满。那么,你认为酒的体积占整个酒杯容积的百分之多少?
640.webp (6).jpg 如果酒杯没有装满的话,你可以少喝多少酒?为了解决这个问题,我们需要知道圆台体积的计算公式: 640.webp (7).jpg 因此,整个杯子的容积为: 640.webp (8).jpg 但液面高度只达到整个酒杯高度的 5/6,因此液体体积为: 640.webp (9).jpg
两者一除,答案简直让人不敢相信:酒的体积竟然只有整个酒杯容积的 73.74%,也就是说这样便能少喝超过 1/4 的酒!
可是,为什么仅仅少了 1/6 的高度,就能少喝 1/4 的酒呢?这仍然是半径与体积的关系在作怪。人们总是关注酒杯液面的高度,却忽视了倾斜的杯壁对体积的影响。而酒杯内部是一个立体的空间,这更是放大了这种影响。如果半径以线性的速度增加,横截面积将会以平方级的速度增加,因此,靠近杯口的位置占据的空间比人们想象中的更多。
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