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[数学综合] 无处不在的兔子数列

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发表于 2016-6-24 11:14:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
兔子数列,又名斐波那契数列或黄金分割数列,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、……即从第三项开始,每个数都是它前面的两个数的和,在很多的领域都有直接的应用,在奥数中更是如此,一二三四五年六级的奥数中都会以不同的形式出现!还有一个与它相似的数列——卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…,也具有斐波那契数列同样的性质。(我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推:从第三项开始,每一项都等于前两项之和f(n) =f(n-1)+ f(n-2))。



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二、三个不同名字的由来:
兔子数列:意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例子引入,故又称为“兔子数列”
斐波那契数列:斐波那契数列的发现者,是意大利数学家列昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci),生于公元1170年,卒于1250年,籍贯是比萨。
黄金分割数列:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…
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三、常见题目
1、一二年级奥数中兔子数列的常见题目是:
  • 找规律填空:112358,(),2134,(),89

【解析】           13,55

  • 假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,并且此后每个月都生一对小兔。如果一切正常没有死亡,公母兔也比例适调,那么一对刚出生的兔子,一年可以繁殖成()对兔子。
  • 【解析】           1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ,则共有144对兔子



2、三四年级奥数中兔子数列的常见题目是:

  • 有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?

【解析】           这就是一个斐波那契数列:登上第一级台阶有一种登法;登上两级台阶,有两种登法;登上三级台阶,有三种登法;登上四级台阶,有五种登法……1,2,3,5,8,13……所以,登上十级,有89种走法。

(巩固)一枚均匀的硬币掷10次,问不连续出现正面的可能情形有多少种?
解决:掷一次有2种情况,掷二次有3种情况,掷三次有5种情况...掷10次有144种情况。

  • 在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列

2014年第十四届三年级中环杯决赛12题)将杨辉三角形靠最左边的数字对齐排列成下列形式:
360截图-92881578.jpg
斜线方向用箭头连接的一排数字我们称之为对角线,例如第一条对角线为“1←→1 ”,第二条对角线为“1←→2”,第三条对角线为“1←→3←→1”请问:第13条对角线上所有的数字之和为多少?
【解析】           和为斐波那契数列的一部分,依次为:2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,故答案为610

3、五年级奥数中兔子数列的常见题目是:
  • 1*2的格子覆盖一个2*10的格子,有几种摆放方法呢?

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  • 三角形的三边关系定理和斐波那契数列:现有长为144cm的铁丝,要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则n的最大值为多少?

【解析】           由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边,因此不构成三角形的条件就是存在两边之和不超过另一边。截成的铁丝最小为1,因此可以放2个1,第三条线段就是2(为了使得n最大,因此要使剩下来的铁丝尽可能长,因此每一条线段总是前面的相邻2段之和),依次为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55,以上各数之和为143,与144相差1,因此可以取最后一段为56,这时n达到最大为10。

2014年第十二届五年级小机灵杯决赛13题)现有91根小棒,长度分别为1cm2cm3cm4cm91cm,从中至少选出________ 根小棒就一定能围成一个三角形。
【解析】           当取1 cm、2 cm、3 cm、5 cm、8 cm、13 cm、21 cm、34 cm、55 cm、89 cm这个斐波那契数列时,任意三根都不可以围成三角形,再多取一根则必定有三根可以围成一个三角形,故答案为10+1=11根

4、六年级奥数中兔子数列的常见题目是:
  • (2009年走美初赛六年级)有一串数:1,1,2,3,5,8,……,从第三个数起,每个数都是前两个数之和,在这串数的前2009个数中,有几个是5的倍数?

【解析】           由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数.
所以这串数除以5的余数分别为:1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,4,4,3,2,0,2,2,4,1,0,1,1,2,3,0,……
可以发现这串余数中,每20个数为一个循环,且一个循环中,每5个数中第五个数是5的倍数.
由于2009/5=401……4,所以前2009个数中,有401个是5的倍数.

  • 在圆和扇形一章,常需要求如图的组合图形的周长或面积,而每个正方形的边长恰好是由斐波那契数列构成的

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