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[五年级] 小升初行程问题

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发表于 2016-6-9 19:51:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
  
file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif     
  
      【专题知识点概述】
  
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题,总称为行程问题.在对小学数学的学习中,我们已经接触过一些简单的行程应用题,行程问题主要涉及时间(t)、速度(v)和路程(s)这三个基本量,它们之间的关系如下:
  
(1)速度×时间=路程    可简记为:s = vt
  
(2)路程÷速度=时间    可简记为:t = s÷v
  
(3)路程÷时间=速度    可简记为:v = s÷t
  
【授课批注】
  
解行程问题得抓住不变量或相等量,最常见的相等量是时间相等。相遇、追及、钟表等等绝大部分行程问题都是建立在等时性下的运算,特别是用比例解行程问题更是如此。
  
一、相遇问题.
  
假设甲乙分别从A,B两地出发相向而行,速度分别为file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif,A,B两地相距S,甲乙经过时间t后相遇,那么我们可以明显的看出,在时间t内,甲乙共同走了一个A,B全长,即甲乙的路程之和为S.
  
那么我们分别利用公式表示甲乙两人在时间t内所走的路程:
  
file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif,file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif , 那么路程的和file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image010.gif
  
所以我们得到了相遇问题中最重要的结论:速度和×相遇时间=路程和
  
二、追击问题
  
与相遇问题类似的一个问题便是追击问题
  
假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间t后甲乙同时到达终点,甲乙的速度分别为file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.gif,那么我们可以看到经过时间t后,甲比乙多跑了5米,或者可以说,在时间t内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间t追了乙5米
  
由file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif,file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image008.gif,file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.gif
  
由此我们可以得到追击问题的一个重要结论:速度差×追及时间=路程差  
  
三、多人多次相遇追击问题
  
多人相遇与追击问题往往是将几个“两人之间的相遇与追击问题”结合在了一起,这就首先要求同学们对前一讲中的两人相遇与追击问题的知识方法和分析技巧掌握的扎扎实实。在这个基础之上,解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析,并且往往我们需要做的线段图不止一个。
  
多次相遇与追击涉及到两类行程路线,即直线型与环线型.对于这两种基本路线与方向中第n次相遇(追上)时路程S的关系,归纳如下:
  
   
   
环线型
直线型
同一出发点
直径两端
迎面相遇
   
(路程和)
后面追上
   
(路程差)
同向
nS(路程差)
nS+0.5S(路程差)
2nS
2nS
相对
   
(反向)
nS(路程和)
nS-0.5S(路程和)
(2n-1)S
(2n-1)S
  
file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image014.jpg
  
【习题精讲】
  
【例1】(难度等级 ※※)
  
甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地出发相向而行,甲车先行三小时后乙车从 B 地出发,乙车出发5 小时后两车还相距15千米.甲车每小时行 48千米,乙车每小时行 50千米.求 A、 B 两地间相距多少千米?
  
【分析与解】
  
在整个过程中,甲车行驶了 3+5= 8=(小时),行驶的路程为:48× 8 =384(千米);乙车行驶了 5 小时,行驶的路程为: 50 ×5  =250(千米),此时两车还相距15 千米,所以 A 、 B 两地间相距:384+250+15 =649(千米).
  
【举一反三】(难度等级 ※※)
  
甲、乙两人分别以每小时 6 千米和每小时 4 千米的速度从相距 30 千米的两地向对方的出发地前进.当两人之间的距离是 10 千米时,他们走了几小时?
  
【分析与解】
  
本题有两种情况,一种是甲、乙两人还未相遇过,此时两人一共走30-10 =20(千米),另一种是甲、乙两人相遇过后继续向前走到相距 10 千米,一共走30+10=40(千米),所以有两种答案: (30-10)÷(6+4)= 2(小时);或 (30+10)÷(6+4)=4(小时).
  
  
【例2】(难度等级  ※※)
  
小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米,小强每分走  70 米,二人在途中的 A 处相遇。若小红提前  4 分出发,且速度不变,小强每分走 90 米,则两人仍在  A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米?
  
【分析与解】  
  
因为小红的速度不变,相遇的地点不变,所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变,也就是说,小强第二次走的时间比第一次少 4 分钟。(70×4÷(90-70)=14 分钟 可知小强第二次走了 14分钟,他第一次走了 14+4=18 分钟; 两人家的距离:(52+70)×18=2196(米) .
  
  
【例3】(难度等级  ※※※)
  
甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发相向而行,6 小时后相遇在 C 点。如果甲车速度不变,乙车每小时多行 5 千米,且两车还从 A、B 两地同时出发相向而行,则相遇地点距 C 点 12 千米,如果乙车速度不变,甲车每小时多行 5 千米,且两车还从 A、B 两地同时出发相向而行,则相遇地点距C 点 16 千米。甲车原来每小时向多少千米?
  
【分析与解】
  
设乙增加速度后,两车在 D 处相遇,所用时间为  T 小时。甲增加速度后,两车在 E 处相遇。由于这两种情况,两车的速度和相同,所以所用时间也相同。于是,甲、乙不增加速度时,经 T 小时分别到达 D、E。DE=12+16=28(千米)。由于甲或乙增加速度每小时 5 千米,两车在 D 或 E 相遇,所以用每小时 5  千米的速度,T 小时 走过 28 千米,从而 T=28÷5file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image016.gif小时,甲用 6-file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image016.giffile:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image019.gif(小时),走过 12 千米,所以甲原来每小时行 12÷file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image019.gif=30(千米)
  
  
【举一反三】(难度等级 ※※※)
  
甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行,5 小时后相遇在  C 点。如果甲速度不变,乙每小时多行 4 千米,且甲、乙还从  A、B 两地同时出发相向而行,则相遇点  D 距 C 点  lO 千米;如果乙速度不变,甲每小时多行 3 千米,且甲、乙还从  A、B 两地同时出发相向而行,则相遇点  E距 C 点  5 千米。问:甲原来的速度是每小时多少千米?
  
【分析与解】
  
当乙每小时多行 4 千米时,5 小时可以多行 20 千米,所以当两人相遇后继续向前走到 5 小时,甲可以走到 C 点,乙可以走到 C 点前面 20 千米。而相遇点  D 距 C 点 lO 千米,因此两人各走了 10 千米,所以甲乙二人此时速度相等,即原来甲比乙每小时多行 4 千米。 同理可得,甲每小时多行 3 千米时,乙走 5 千米的时间甲可以走 10 千米,即甲的速度是乙的 2 倍。 (4+3)÷(2-1)+4=11(千米/小时),所以甲原来的速度是每小时 11 千米。
  
  
【例4】(难度等级  ※※※)
  
甲、乙两车的速度分别为 52 千米/时和 40 千米/时,它们同时从 A 地出发到 B 地去,出发后 6 时,甲车遇到一辆迎面开来的卡车,1 时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。
  
【分析与解】  
  
甲乙两车最初的过程类似追及,速度差×追及时间=路程差;路程差为 72 千米;72 千米就是1 小时的甲车和卡车的路程和,速度和×相遇时间=路程和,得到速度和为 72 千米/时,所以卡车速度为 72-40=32 千米/时。
  
【举一反三】(难度等级 ※※※)
  
甲每分钟走50米,乙每分钟走60米,丙每分钟走70米,甲乙两人从A地,丙一人从B地同时相向出发,丙遇到乙后2分钟又遇到甲,A、B两地相距多少米?
  
  
  
  
  
【例5】(难度等级  ※※※)
  
每天早晨,小刚定时离家步行上学,张大爷也定时出家门散步,他们相向而行,并且准时在途中相遇.有一天,小刚提早出门,因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇.已知小刚步行速度是每分钟70 米,张大爷步行速度是每分钟 40 米,那么这一天小刚比平时早出门多少分钟?
  
【分析与解】
  
比平时早 7 分钟相遇,那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的路程,所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了  (70 +40 )×7 =770 米,因此小刚比平时早出门770 ÷70 =11分钟.
  
【举一反三】(难度等级 ※※※)
  
甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行,5 小时相遇;如果乙车提前 1 小时出发,则差 13千米到中点时与甲车相遇,如果甲车提前 1 小时出发,则过中点 37 千米后与乙车相遇,那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时?
  
【分析与解】
  
第一次行程甲、乙两车同时出发,所以两车走的时间相同;第二次乙车提前 1 小时出发,所以这次乙车比甲车多走了 1 小时;第三次甲车提前 1 小时出发,所以这次甲车比乙车多走了 1 小时.那么如果把第二次和第三次这两次行程相加,那么甲车和乙车所走的时间就相同了,而所走的路程为 2 个全程.由于两人合走一个全程要 5 小时,所以合走两个全程要 10 小时.由于第二次在乙车在差 13 千米到中点与甲车相遇,所以此次甲车走了全程的一半加上 13 千米;第三次在过中点 37 千米后与乙车相遇,所以此次甲车走了全程的一半加上 37 千米;这两次合起来甲车走了一个全程加上13 +37 =50千米,所以乙车走了一个全程少 50 千米,甲车比乙车多走50× 2 =100千米.而这是在 10  小时内完成的,所以甲车与乙车的速度差为100 ÷10 =10千米/时
  
【例6】(难度等级  ※※※)
  
甲、乙两车分别从 A, B 两地同时出发相向而行,6 小时后相遇在 C 点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行 5 千米,且两车还从 A, B 两地同时出发相向而行,则相遇地点距  C 点 12 千米;如果乙车速度不变,甲车速度每小时多行 5 千米,则相遇地点距 C 点 16 千米.甲车原来每小时行多少千米?
  
【分析与解】
  
题中出现三次行程,且每次甲、乙两车的速度都有变化,所以不好直接运用公式.看看这三次行程中是否有不变的量呢?第二次行程是甲车速度不变,乙车每小时多行 5 千米,那么两车的速度之和是原来两车速度之和加上 5;第三次行程是乙车速度不变,甲车速度每小时多行 5 千米,两车的速度之和也是原来两车速度之和加上 5,所以第二次和第三次两车的速度之和相同,那么它们所用的时间也相同,发现了这一点,题目就好做了.
  第二次相较于第一次,甲车的速度不变,乙车的速度提高了,那么走同样的路程所花的时间比第一次少,所以甲车走的路程比第一次走得少,那么第二次相遇地点在 A、C 之间;同样分析可知第三次相遇地点在 B 、 C 之间,所以这两次相遇地点之间的距离为12+ 16 =28(千米).由于第二次和第三次所用的时间也相同,而第三次甲车的速度比第二次甲车的速度大每小时 5 千米,第三次甲车走的路程比第二次走的路程多 28 千米,所以这两次行程的时间为 28 ÷5= 5.6(小时);再看第一次和第二次,这两次中甲车的速度相同,但走的时间不同,第一次比第二次多走了 6 -5.6 =0.4(小时),第一次比第二次多走的路程则为 12 千米,所以甲车原来的速度为12 ÷0.4 =30(千米/时)
  
【举一反三】(难度等级 ※※※)
  
A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计),甲、乙二人分别从两地同时出发,3 小时后在桥上相遇.如果甲加快速度,每小时多走 2 千米,而乙提前 0.5 小时出发,则仍能恰在桥上相遇.如果甲延迟 0.5 小时出发,乙每小时少走 2 千米,还会在桥上相遇.则 A、 B 两地相距多少千米?
  
【分析与解】
  
因为每次相遇的地点都在桥上,所以在这三种情况中,甲每次走的路程都是一样的,同样乙每次走的路程也是一样的.在第二种情况中,乙速度不变,所以乙到桥上的时间还是 3 小时,他提前了 0.5 小时,那么甲到桥上的时间是 3 -0.5 =2.5小时.甲每小时多走 2 千米,2.5小时就多走 2 ×2.5= 5千米,这 5 千米就是甲原来 3- 2.5 =0.5小时走的,所以甲的速度是 5 ÷0.5= 10千米/时.在第三种情况中,甲速度不变,所以甲到桥上的时间还是 3 小时,他延迟了 0.5 小时,那么乙到桥上的时间是 3+ 0.5 =3.5小时.乙每小时少走 2 千米,3.5小时就少走 2 ×3.5 =7千米,这 7 千米就是甲原来 3.5 -3= 0.5小时走的,所以乙的速度就是 7 ÷0.5 =14千米/时.所以 A、 B 两地的距离为 (10 +14) ×3 =72千米.
  
【例7】(难度等级  ※※※)
  
地铁有 A,B 两站,甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A,B 两站同时出发,他们第一次相遇时距 A 站 800 米,第二次相遇时距  B 站 500 米.问:两站相距多远?
  
【分析与解】
  
从起点到第一次迎面相遇地点,两人共同完成 1 个全长,从起点到第二次迎面相遇地点,两人共同完成 3 个全长,一个全程中甲走 1 段  800 米,3 个全程甲走的路程为 3 段 800 米. 画图可知,由 3 倍关系得到:A,B 两站的距离为 800×3-500=1900 米
  
【举一反三】(难度等级 ※※※)
  
小王、小李二人往返于甲、乙两地,小王从甲地、小李从乙地同时出发,相向而行,两人第一次在距甲地3千米处相遇,第二次在距甲地6千米处相遇(追上也算作相遇),则甲、乙两地的距离为多少千米?
  
  
  
  
  
【例8】(难度等级  ※※※)
  
在一圆形跑道上,甲从 A 点、乙从 B 点同时出发反向而行,6 分后两人相遇,再过4 分甲到达 B 点,又过 8 分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分?
  
file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image022.jpg
  
【分析与解】  
  
由题意知,甲行 4 分相当于乙行 6 分.(抓住走同一段路程时间或速度的比例关系)
  从第一次相遇到再次相遇,两人共走一周,各行 12 分,而乙行 12 分相当于甲行 8 分,所以甲环行一周需 12+8=20(分),乙需 20
÷4×6=30(分).
  
【举一反三】(难度等级 ※※※)
  
如右图,A,B 是圆的直径的两端,甲在 A 点,乙在 B 点同时出发反向而行,两人在 C 点第一次相遇,在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米,D 离 B 有 60 米,求这个圆的周长.
  
file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image024.jpg
  
【分析与解】  
  
根据总结可知,第二次相遇时,乙一共走了 80×3=240  米,两人的总路程和为一周半,又甲所走路程比一周少 60 米,说明乙的路程比半周多 60 米,那么圆形场地的半周长为 240-60=180 米,周长为 180×2=360  米.
  
【例9】(难度等级  ※※※)
  
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,匀速前进。如果两人按原定速度前进,则4小时相遇;如果两人各自都比原计划每小时少走1千米,5小时相遇。那么A、B两地的距离是多少千米?
  
  
  
  
  
【举一反三】(难度等级 ※※※)
  
悟空、八戒相约一起去看世界杯,两人分别从AB两地同时出发,6小时后相遇在中点,如果悟空比八戒延迟1小时出发,八戒每小时少走4千米,两人仍在中点相遇,问AB两地相距多远?   
  
  
  
  
  
【例10】(难度等级  ※※※)
  
王叔叔开车从北京到上海,从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达;返回时,按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高1/6,于是提前1 小时 40 分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米?
  
【分析与解】  
  
从开始出发,车速即比原计划的速度提高了1/9,即车速为原计划的10/9,则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10,即比原计划少用1/10的时间,所以一个半小时等于原计划时间的1/10,原计划时间为:1.5÷1/10=15(小时);按原计划的速度行驶 280 千米后,将车速提高1/6,即此后车速为原来的7/6,则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7,即此后比原计划少用1/7的时间,所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7,则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为:
  5/3÷1/7=35/3(小时),所以,原计划的速度为:84(千米/时),北京、上海两市间的路程为:84 ×15= 1260(千米).
  
【举一反三】(难度等级 ※※※)
  
一辆汽车从甲地开往乙地,如果车速提高 20%,可以提前1小时到达.如果按原速行驶一段距离后,再将速度提高 30% ,也可以提前1小时到达,那么按原速行驶了全部路程的几分之几?
  
【分析与解】
  
车速提高 20%,即为原速度的6/5,那么所用时间为原来的5/6,所以原定时间为
  
file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image026.gif小时;如果按原速行驶一段距离后再提速 30% ,此时速度为原速度的13/10,所用时间为原来的10/13,所以按原速度后面这段路程需要的时间为file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image028.gif小时.所以前面按原速度行使的时间为file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image030.gif小时,根据速度一定,路程比等于时间之比,按原速行驶了全部路程的file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image032.gif
  
【例11】(难度等级  ※※※)
  
甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行,5 小时相遇;如果乙车提前 1 小时出发,则差 13千米到中点时与甲车相遇,如果甲车提前 1 小时出发,则过中点 37 千米后与乙车相遇,那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时?
  
【分析与解】
  
第一次行程甲、乙两车同时出发,所以两车走的时间相同;第二次乙车提前 1 小时出发,所以这次乙车比甲车多走了 1 小时;第三次甲车提前 1 小时出发,所以这次甲车比乙车多走了 1 小时.那么如果把第二次和第三次这两次行程相加,那么甲车和乙车所走的时间就相同了,而所走的路程为 2 个全程.由于两人合走一个全程要 5 小时,所以合走两个全程要 10 小时.由于第二次在乙车在差 13 千米到中点与甲车相遇,所以此次甲车走了全程的一半加上 13 千米;第三次在过中点 37 千米后与乙车相遇,所以此次甲车走了全程的一半加上 37 千米;这两次合起来甲车走了一个全程加上13 +37 =50千米,所以乙车走了一个全程少 50 千米,甲车比乙车多走50× 2 =100千米.而这是在  10 小时内完成的,所以甲车与乙车的速度差为100 ÷10  =10千米/时
  
【举一反三】(难度等级 ※※※)
  
A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计),甲、乙二人分别从两地同时出发,3 小时后在桥上相遇.如果甲加快速度,每小时多走 2 千米,而乙提前 0.5 小时出发,则仍能恰在桥上相遇.如果甲延迟 0.5 小时出发,乙每小时少走 2 千米,还会在桥上相遇.则 A、 B 两地相距多少千米?
  
【分析与解】
  
因为每次相遇的地点都在桥上,所以在这三种情况中,甲每次走的路程都是一样的,同样乙每次走的路程也是一样的.在第二种情况中,乙速度不变,所以乙到桥上的时间还是 3 小时,他提前了 0.5 小时,那么甲到桥上的时间是 3 -0.5 =2.5小时.甲每小时多走 2 千米,2.5小时就多走 2 ×2.5= 5千米,这 5 千米就是甲原来 3- 2.5 =0.5小时走的,所以甲的速度是 5 ÷0.5= 10千米/时.在第三种情况中,甲速度不变,所以甲到桥上的时间还是 3 小时,他延迟了 0.5 小时,那么乙到桥上的时间是 3+ 0.5 =3.5小时.乙每小时少走 2 千米,3.5小时就少走 2 ×3.5 =7千米,这 7 千米就是甲原来 3.5 -3= 0.5小时走的,所以乙的速度就是 7 ÷0.5 =14千米/时.所以 A、 B 两地的距离为 (10 +14) ×3 =72千米.
  
file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image034.jpg
  
【作业】
  
1. 甲、乙两地相距 240 千米,一列慢车从甲地出发,每小时行 60千米.同时一列快车从乙地出发,每小时行 90千米.两车同向行驶,快车在慢车后面,经过多少小时快车可以追上慢车?
  
【答案】8小时
  
2. 甲、乙、丙三辆车同时从 A 地出发到 B 地去,甲、乙两车的速度分别为 60 千米/时和 48千米/时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6 时、7 时、8 时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。
  
【答案】39 千米/小时
  
3. 甲、乙二人练习跑步,若甲让乙先跑10米,则甲跑 5 秒钟可追上乙;若甲让乙先跑 2秒钟,则甲跑 4秒钟就能追上乙.问:甲、乙二人的速度各是多少?
  
【答案】甲6米/秒,乙4米/秒
  
4. 甲、乙二人分别从 AB 两地同时相向而行,乙的速度是甲的file:///C:/Users/jxw5475/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image036.gif,二人相遇后继续行进,甲到 B 地、乙到 A 地后立即返回.已知二人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是 100 千米,那么,A、B 两地相距多少千米?  
  
【答案】125千米
  
5. A、B 是一圈形道路的一条直径的两个端点,现有甲、乙两人分别从 A、B 两点同时沿相反方向绕道匀速跑步(甲、乙两人的速度未必相同),假设当乙跑完 100 米时,甲、乙两人第一次相遇,当甲差 60 米跑完一圈时,甲、乙两人第二次相遇,那么当甲、乙两人第十二次相遇时,甲跑完几圈又几米?
  
【答案】6圈340米
  
  
  
  
  
  

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