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[数学研究] 气泡为何是球形?

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发表于 2016-5-27 16:46:26 | 显示全部楼层 |阅读模式


蒲公英为何会长成一个球形?气泡又为何是球形?用数学知识怎么解释?
拿来一根铁丝,并将其弯成方形。蘸一下泡沫水后就开始吹气泡,那么,吹出的气泡为什么不是立方形呢?或者把铁丝弯成三角形,但为什么不会吹出一个金字塔形的气泡呢?为什么不管把铁丝弯成什么形状,最后吹出的气泡都是一个完美球形呢?

原因就在于,自然是非常懒惰的,对自然而言,球形是最容易塑造的一种形状。气泡试图寻找到一种需要最少能量就能塑成的形状,而且这种能量均匀分布在表面区域。气泡中包含一定量的空气,其体积并不会随形状的改变而改变。当空气的数量一定量,球形是其中表面面积最小的一种形状。因此,球形也是使用能量最少的一种形状。

长期以来,产品制造商们一直热衷于模仿自然界的这种制造完美球形的能力。如果你正在制造滚珠轴承或枪支的子弹,那么,打造出完美球形将是一件生死攸关的事情,因为形状上的细微偏差就会造成枪支的逆火,或机器的损坏。1783年,当一名在布里斯托尔出生的水管工威廉·瓦茨意识到他能利用自然界的这种对于球形的偏爱时,对这方面的突破便发生了。
当融化的铁水从高塔的顶端向下坠落时,和气泡一样,铁水也在下落的过程中呈现出完美的球形。于是,瓦茨设想,如果在塔底放一桶水,当铁水接触水面后,是否能够把这个完美的球形冻结。他决定要在布里斯托尔的家中检验这一想法。麻烦是,他需要铁水的坠落距离超过3层楼的高度,从而为铁水提供足够多的时间供其呈现出球形。
于是,瓦茨便在他的房子顶层上又加盖了3层,并在每一层的地板上都留出一个小洞,从而使铁水能够顺利穿过。他本来还试图在塔顶周围增加一些城堡式的装饰,为新的建筑增添一种哥特式风格,但邻居们被这个突然出现的高塔吓倒了,使他未能如愿。不过,由于瓦茨的实验取得了空前的成功,随后,类似的塔尖状建筑物便如雨后春笋般涌现在英美两国的大地上。瓦茨自己的那栋建筑则一直保留到1968年。 640.webp (3).jpg 威廉·瓦茨通过对自然的巧妙利用,来制作球形滚珠轴承
虽然自然界对球形如此偏爱,但是否存在其他奇怪的比球形还要高效的形状呢?对此,我们要如何确定?实际上,伟大的希腊数学家阿基米德早就最先提出,在体积相同的情况下,球形的表面面积的确是最小的。为证明这一点,阿基米德开始创建一系列公式以计算球体的表面面积和体积。
虽然计算曲面造型的体积是一项巨大挑战,但阿基米德采用了一个巧妙的方法:将球体平切成许多薄层,然后将这些薄层近似地看做圆盘。他知道如何计算圆盘的体积,用圆盘表面面积乘以圆盘厚度即可。把每个不同尺寸的圆盘的体积叠加起来后,便可得出球体的近似体积。 640.webp (4).jpg
球体可近似地被看做由众多圆盘叠加而组成的
接下来才是最巧妙的那部分。如果把这些圆盘切得越来越薄,越来越薄,一直到无限薄为止,那么,通过上述算法便可得出该球体的准确体积。这也是数学中最早引入无限思想的例子。大约2000年后,一种类似的技巧最终成为艾萨克·牛顿和戈特弗里德·莱布尼茨发明微积分的理论基础。
阿基米德进而又运用该方法算出了许多其他形状的体积。他还发现,当把球体放在一个同等高度的圆柱管子中时,管子内的气体体积恰好为球体体积的一半。对于这一发现,他感到由衷的骄傲和兴奋,基至因此要求把圆柱体和球体刻在他的墓碑上。
尽管阿基米德成功地找到了一种计算球体体积的表面积的方法,但他未能证实自己的设想,即球体是算然界中最高效的形状。直到1884年,数学发展到足够成熟的阶段,这一年,德国人赫尔曼·施瓦茨才终于证实出并不存在某种神秘形状能够在能量效率上战胜球体。

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