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[华杯赛] 抽屉原理应用题

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发表于 2016-5-18 14:47:13 | 显示全部楼层 |阅读模式
抽屉原理
解答题
1. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12中最多能选出几个数,使得在选出的数中,每一个数都不是另一个数的2倍?
正确答案:8
解析:我们知道选多少个奇数均满足,有1,3,5,7,9,11均为奇数,
并且有偶数中4的倍数,但不是8的倍数的也满足,有4,12是这样的数.
所以,在满足题意情况下最多可以选出8个数.
解答题
2. 从1,3,5,7,…,97,99中最多可以选出多少个数,使得选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍数?
正确答案:33
解析:利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组.
(1,3,9,27,81),(5,15,45),(7,21,63),(11,33),(13,39),(17,51),(19,57),(23,69),(25,75),(29,87),(31,93),(35),(37),(41),(43),…,(97)共33组.
前11组,每组内任意两个数都存在倍数关系,所以每组内最多只能选择一个数.
即最多可以选出33个数,使得选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍数.
解答题
3. 从1,2,3,…,49,50这50个数中取出若干个数,使其中任意两个数的和都不能被7整除,则最多能取出多少个数?
正确答案:23
解析:利用除以7的余数分类:
余0:(7,14,21,28,35,42,49);
余1:(1,8,15,22,29,36,43,50);
余2:(2,9,16,23,30,37,44);
余3:(3,10,17,24,31,38,45);
余4:(4,11,18,25,32,39,46);
余5:(5,12,19,26,33,40,47);
余6:(6,13,20,27,34,41,48).
第一组内的数最多只能取1个;如果取第二组,那么不能取第七组内任何一个数;取第三组,不能取第六组内任何一个数;取第四组,不能取第五组内任意一个数.
第二、三、四、五、六、七组分别有8、7、7、7、7、7个数,
所以最多可以取1+8+7+7=23个数.
解答题
4. 有49个小孩,每人胸前有一个号码,号码从1到49各不相同.现在请你挑选若干个小孩,排成一个圆圈,使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100,那么你最多能挑选出多少个孩子?
正确答案:18
解析:将1至49中相乘小于100的两个数,按被乘数分成9组,
如下:
(1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49);
(2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49);
…………
(8×9)、(8×10)、(8×11)、(8×12);
(9×10)、(9×11).
因为每个数只能与左右两个数相乘,也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次,所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中,最多可以取出18个数对,共18×2=36次,但是每个数都出现两次,故出现了18个数.
例如:(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4×16)、(16×3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18×1)、(1×10).共出现l~18号,共18个孩子.
若随意选取出19个孩子,那么共有19个号码,由于每个号码数要与旁边两数分别相乘,则会形成19个相乘的数对.
那么在9组中取出19个数时,有19=9×2+1,由抽屉原则知,必有三个数对落入同一组中,这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上),由分析知,这是不允许的.故最多挑出18个孩子.
解答题
5. 某班有16名学生,每个月教师把学生分成两个小组.问最少要经过几个月,才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?
正确答案:4
解析:经过第一个月,将16个学生分成两组,至少有8个学生分在同一组,下面只考虑这8个学生.
经过第二个月,将这8个学生分成两组,至少有4个学生是分在同一组,下面只考虑这4个学生.
经过第三个月,将这4个学生分成两组,至少有2个学生仍分在同一组,这说明只经过3个月是无法满足题目要求的.
如果经过四个月,将每个月都一直保持同组的学生一分为二,放人两个组,那么第一个月保持同组的人数为16÷2=8人,第二个月保持同组的人数为8÷2=4人,第三个月保持同组人数为4÷2=2人,这说明,照此分法,不会有2个人一直保持在同一组内,即满足题目要求,故最少要经过4个月.
解答题
6. 在今年(即2013年)出生的1000个孩子中,请你预测:
(1)同在某月某日生的孩子至少有多少个?
(2)至少有多少个孩子将来不单独过生日?
正确答案:3;636
解析:
因为2013年有365天,故在2013年出生的孩子至少有file:///C:/Users/ZONGCH~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.gif+1=3(个)孩子的生日相同;
又因为1000-(365-1)=636,即至少有363个孩子将来不单独过生日.
解答题
7. 有红、黄、蓝三种颜色的小珠子各4颗混放在口袋里,为了保证一次能取到2颗颜色相同的珠子,一次至少要取多少颗?如果要保证一次取到两种不同颜色的珠子各2颗,那么一定至少要取出多少颗?
正确答案:4;7
解析:将三种不同颜色看作3个抽屉,对于第一问中为保证一次取到2颗相同颜色的珠子,一次至少要取1×3+1=4(颗)珠子.
对于第二问为了保证一次取到两种不同颜色珠子各2颗,
一次至少要取4+(1?2+1)=7(颗)珠子.
解答题
8. 从一列数1,5,9,13,…,93,97中,至少取多少个数.其中必有两个数的和等于106.
正确答案:15
解析:给出的数是一个等差数列,它一共有25个数,将这25个组按照和为106分组:(1),(5),(9,97),(13,93),…,(49,57),(53)
在这25个数中任取15个数来,必有两个数属于上述14组中的同一组,故这一组两个数之和是106.
解答题
9. 一个口袋里面装有卡片,每个卡片上面写着从1~14的一个正整数,每个数的卡片有5张。现在闭着眼睛从里面随机抽取,问在最坏的情况下,要抽取多少张,才能保证至少有5张卡片上面的数两两互质?
正确答案:56
解析:70张卡片,将14个数分为以下7组1,11,13,(2,4,8),(5,10),(7,14),(3,9,6,12),按上述顺序每种卡片分别取0、0、0、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5、5张,此时不互质。如果有56张,上面七组中,至少还有5组中的数,必然能满足题目条件。
解答题
10. 从1,2,3,…,2012,2013这些自然数中,最多可以取出多少个数,使得其中每两个数的差不等于4?
正确答案:1008
解析:1,2,3,4;9,10,1l,12;17,18,19,20;25,…,这些数中任何两个数的差都不为4,这些数是每8个连续的数中选取前4个连续的数.
有2013÷8=251……5,所以最多可以选251×4+4=1008个数。

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发表于 2016-5-30 10:27:13 | 显示全部楼层
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