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[华杯赛] 应用题中的最值问题

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发表于 2016-5-18 14:45:27 | 显示全部楼层 |阅读模式
应用题中的最值问题
解答题
1. 现在有1000元,准备存3年,有以下三种方案:
(1)存三年期的,年利率是3.6%;
(2)先存一年期的,年利率是2.52%,第一年到期时再把本金和税后利息取出来合在一起,再存入一年.第二年到期时再把本金和税后利息取出合在一起,再存入一年;
(3)先存两年期的,年利率是3.0%,第二年到期时再把本金和税后利息取出合在一起,再存入一年.
选择哪种方案,最后得到的钱最多,可以多得到多少元?
正确答案:(1);108.
解析:(1)1000×3×3.6%=108(元);
(2)1000×1×2.52%=25.2(元),
(1000+25.2)×1×2.52%≈25.84(元),
(1000+25.84)×1×2.52%≈25.85(元),
25.2+25.84+25.85=76.89(元);
(3)1000×2×3.0%=60(元),
(1000+60)×1×2.52%≈26.71(元),
60+26.71=86.71(元),
108>86.71>76.85;
答:选择第一种方案,最后得到的钱最多,可以多得到108元.
解答题
2. 小敏有500元钱,打算存入银行.可以有两种存法:一种是存定期2年,年利率是2.43%;另一种是先存一年期,年利率是2.25%,第一年到期时,把本金和利息取出来,合在一起,再存一年.选择哪种存法,得到的利息多一些?
正确答案:第一种.
解析:(1)第一种得到的利息:
500×2.43%×2,
=500×0.0243×2,
=24.3(元);
(2)第二种得到的利息:
500×2.25%×1,
=500×0.0225×1,
=11.25(元);
(500+11.25)×2.25%×1,
=511.25×0.0225×1,
≈11.5(元);
11.25+11.5=22.75(元);
24.3>22.75
答:选择第一种办法,得到的利息多一些.
解答题
3. 某商店将每件进价80元的商品按每件100元出售,一天可以售出约100件,该商店想通过降低售价增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销售量可增加约10件,那么要想使销售利润最大,则需要将这种商品的售价降低多少元?
正确答案:5元.
解析:将这种商品售价降低x元时,所获利润最大,获利最大利润为y元,
则y=(100-80-x)(100+10x)(0≤x≤20)
=10×(20-x)(10+x)
注意到20-x与10+x的和总是30,因此当它们的差最小时,乘积最大.
由10+x=20-x,得到x=5,此时定价为100-5=95元,销售利润为2250元.
解答题
4. 某制衣厂两个小组生产同一规格的上衣和裤子,甲组每月用18天时间生产上衣、12天生产裤子,每月生产600套上衣和裤子;乙组每月用15天时间生产上衣,15天时间生产裤子,每月也生产600套上衣和裤子.如果两组合并,每月(按30天计算)最多可生产多少套上衣和裤子?
正确答案:1320套
解析:由于甲生产裤子较快,乙生产上衣较快,
两组合并后,可让他们发挥优势,让乙专门生产上衣,甲专门生产裤子.
乙一个月可生产上衣:
600×(30÷15)
=600×2,
=1200件.
甲生产1200件裤子需要:1200÷600×12=24天.
则甲还可单独生产上衣和裤子:
600÷30×6=120套.
1200+120=1320(套).
即两组合并,每月最多可生产多少套上衣和裤子1320套.
答:两组合并,每月最多可生产多少套上衣和裤子1320套.
解答题
5. 某公司在AB两地分别库存有某机器16台和12台,现要运往甲乙两家客户的所在地,其中甲方15台,乙方13台.已知从A地运一台到甲方的运费为5百元,到乙方的运费为4百元,从B地运一台到甲方的运费为3百元,到乙方的运费为6百元.已知运费由公司承担,公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?
正确答案:10300元
解析:
设由A地运往甲方x台,则A地运往乙方(16-x)台,
B地运往甲方(15-x)台,B地运往乙方(x-3)台.
于是总运价为(单位:元):
S=500x+400(16-x)+300(15-x)+600(x-3)=400x+9100.
显然x满足不等式3≤x≤15.
故当x=3时,总运费最省,为:400×3+9100=10300(元).
解答题
6. 唐老鸭与米老鼠进行一万米赛跑,米老鼠的速度是每分钟125米,唐老鸭的速度是每分钟100米.唐老鸭手中掌握着一种迫使米老鼠倒退的电子遥控器,通过这种遥控器发出第n次指令,米老鼠就以原速度的n×10%倒退一分钟,然后再按原来的速度继续前进,如果唐老鸭想在比赛中获胜,那么它通过遥控器发出指令的次数至少应是多少次?
正确答案:13次
解析:米老鼠跑完全程用的时间为10000÷125=80(分),
唐老鸭跑完全程的时间为10000÷100=100(分).
唐老鸭第n次发出指令浪费米老鼠的时间为1+(125×n×10%)÷125=1+0.1n.
当n次取数为1、2、3、4、…、13时,
米老鼠浪费时间为1.1+1.2+1.3+1.4+…+2.3=22.1(分)大于20分.
因为米老鼠早到100-80=20分,
唐老鸭要想获胜,必须使米老鼠浪费的时间超过20分钟,
因此唐老鸭通过遥控器至少要发13次指令才能在比赛中获胜.
解答题
7. 某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张240元,使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每人只限一次.某班有48名学生,老师打算组织学生集体去游泳,除需购买若干张游泳卡,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名学生,每次的包车费均为40元.若要使每个同学游8次,每人最少交多少钱?
正确答案:80元.
解析:
设一共买了x张卡,一共游泳y次,
则共有xy=48×8=384(人次),
总费用为:(240x+40y)元.
因240x×40y=240×40×384是一定值,
故当240x=40y,即y=6x时和最小,
此时可求得x=8,y=48.
总用费为240×8+40×48=3840(元),
平均每人最少要交3840÷48=80(元).
解答题
8. 一栋楼房共有6层,其中的电梯有如下的特殊规定:电梯每次只能把乘客送到某一层,然后又立刻返回底层,中间不在其他层停留.对于因此而再爬楼的乘客,电梯管理员给以赔偿,办法是:上一层楼赔2元,下一层楼赔1元.某天2至6层的住户各一人同时要上楼,那么管理员最少要支付赔偿金多少元?
正确答案:7
解析:由于下一层楼赔的钱比上一层楼赔的钱少,因此开往高层比开往低层合算.
计算可知把这5位居民都送到2层、3层、4层所支付的赔偿金分别是20元、13元、9元.
若电梯停在5层或6层,则让2层的居民不坐电梯更合算,
于是电梯停在5层和6层时的赔偿金数额分别为
停在5层费用:2×(6-5)+(5-4)+1×(5-3)+2×(2-1)=7元
停在6层费用:1×(6-5)+1×(6-4)+1×(6-3)+2×(2-1)=8元
综上所述,最少的赔偿金为7元.
解答题
9. 某班有41名同学,每人手中有10元到50元钱各不相同.他们到书店买书,已知简装书3元一本,精装书4元一本,要求每人都要把自己手中的钱全部用完,并且尽可能多买几本书,那么最后全班一共买了多少本精装书?
正确答案:42
解析:每人都要把手中的钱用完,而且尽可能多买几本书,意即3元一本的简装书要尽量多买,4元一本的精装书要尽量少买甚至不买.
我们分三种情况进行讨论:
(1)当钱数被3整除时,精装书就可以不买;
(2)当钱数被3除余1时,精装书只要买1本;
(3)当钱数被3除余2时,精装书只要买2本;
在10到50这41个自然数中,
被3除余1和余2的数均有14个,
所以全班一共买精装书14+14×2=42(本).
解答题
10. 某车间有30名工人,计划要加工A、B两种零件.这些工人按技术水平分成甲、乙、丙三类人员,其中甲类人员有8人,乙类有16人,丙类有6人.他们加工两种零件数的效率如下表所示.如果要求加工A种零件500个,B种零件加工得越多越好,应如何按排加工人员,可使B种零件加工数最多,是多少个?
file:///C:/Users/ZONGCH~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image001.gif
正确答案:780
解析:甲加工A种零件的能力最强,乙次之,丙最弱,
所以应尽量安排甲加工A种零件,不足的部分由乙加工.
则需要乙类人员:
(500-8×50)÷25=100÷25=4(人)
那么剩下的乙类人员与6名丙类人员全部加工B零件,共可以加工:
(16-4)×55+6×20=660+120=780(个)
答:具体安排为:
甲类人员8人全部加工A种零件,
乙类人员4人加工A种零件,12人加工B种零件,
丙类6人加工B种零件.
这样,共加工A种零件500个,B种零件780个.

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