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[数学综合] 数学的深刻性,使问题变得简单!

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发表于 2016-4-14 13:54:20 | 显示全部楼层 |阅读模式
首先,我们来考虑一个问题:

把7个3加起来结果是多少?
答案是显然的:
3+3+3+3+3+3+3=21
学过乘法的同志,大概就会直接三七二十一:
3*7=21
从这个角度看,乘法是比加法是更加深刻的,因为乘法使得原来问题的解答变得更加简单了:无论从问题的理解上说,还是从解答的长度来看,都变得更加简单了。每当我们学到数学中更深刻的技巧,就会使得原来一些难以捉摸的问题变得简单明了。
然而令人惋惜的是,这个“深刻使得问题变得简单”的想法却在很大程度上被误解了。因为我们在学习更深入的技巧的时候,也引入了新的困难。为了学习乘法,我们需要背九九表。数学的深刻是带着某些困难的,难怪我们会觉得数学深奥。
但是我们也应该看到,这种附加的困难是值得的,试想想,如果数学家不愿意背九九乘法表,而每次都做连续的加法而不是乘法,那才是浪费时间和生命呢。
数学的深刻性使问题变得简单,虽然这种深刻附带了困难,但是这些附带的困难只是为了简化问题而做的必要牺牲。
所以,我仍然希望大家把“数学是深刻的”和“数学是深奥的”这两个观念区分开来。我所经历的数学教育,很大程度上是告诉我数学是深奥的,而不是在学习他的深刻性。数学教材为了严谨而显得无趣,这是无可厚非的,我们辅以有趣的课外读物即可。但是教学和考试的理念以困难而不是深刻为目的则有违数学的本性了。关于“有难度才有分辨力”的说法,我不以为然:对数学深刻性的理解程度,是更有助于分辨出真正的数学家的。
数学的深刻性使得数学分化出了不同的层次:整数比自然数更深刻,实数比整数更深刻,而复数比实数更深刻。越在上层的数学,是越深刻的,上层的数学从一个更优的角度看待问题,能够解决底层轻易不能解决的问题,能看到底层看不到的风景。
在中学我们学习二次平面曲线(圆锥曲线)的时候,大多见过以下一些方程:
圆的标准方程:x2+y2=a2椭圆曲线的标准方程:x2/a2+y2/b2=1双曲线的标准方程:x2/a2−y2/b2=1抛物线的标准方程:y2=4ax
而事实上,二次平面曲线是有统一的一般方程的:
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(参数A,B和C不能都等于0。)(1)如果 A=C 且 B=0 且 D2+E2−4F>0,方程表示圆;(2)如果B2-4AC<0,方程表示椭圆(除非曲线退化,例如x2+y2+10=0);(3)如果B2−4AC=0,方程表示抛物线;(4)如果B2−4AC>0,方程表示双曲线。
一般方程不但统一了各类二次平面曲线,而且可以表示平面上任意位置的曲线(而不要求曲线的中心在原点);通过坐标变换一般方程可以转变为标准方程;更加令人惊奇的是,这种深刻性阐明了不同概念之间高度的内在联系:一般方程揭示了“二次曲线类型的判定”和“二次方程根的判别式”在底层的视野中很难预料到的隐藏关系。
这种更深刻的理论并不能代表可以抛弃掉底层的理论,就好像有了相对论我们仍然无法抛弃牛顿力学一样,但是这种更深刻的理解是让人感到更加舒适的。
除了数学理论的深刻性,数学思维的深刻性也是值得强调的,是数学爱好者都值得去欣赏的一种美。高斯是一个伟大的数学家,他以诸多传奇故事流传于世。高斯有一个非常有趣的性格:当别人询问高斯你是怎么想到那些神奇的解题思路时,高斯往往都是很优雅地拒绝,而称这些解题思路为直觉:他更喜欢无中生有的逻辑,并清除了所有他如何发现这些数学原理的痕迹。他常说:
一个美好的建筑物完成时,是看不到建筑时所用的台架的。
这样所得到的数学成果,虽然完美无缺,但却是不容易理解的:在演算过程中若某些思维步骤被略去,尽管在证明上完美无瑕,却让人们理解他的思路变得非常困难了。难怪阿贝尔要抱怨高斯:
高斯就像一只狐狸,用尾巴抹去地上的痕迹。
这种神来之笔的思路,论证过程往往峰回路转,最后得出结论让人感觉“啊哈,原来如此”!我在今后的写作中希望在展示出数学这种令人惊讶的美,与此同时,我也希望能描绘出得到这种精美思路的清晰逻辑。因为,从深刻的角度来看,这种想出答案的过程是更加令人心醉的,对于没有深刻性的精巧美,只能算作一种形式上的美感。
最后,我想说这个博客并不是一个数学入门教程,如果碰巧帮上了一些初学者的忙,当然是很值得高兴的一件事情;我希望和对数学有想法的数学爱好者们共同讨论,从而对数学的深刻和美感有一些更令人喜悦的认识。
数学的美可能很难定义,但它的确是一种真实的美,和任何其他的美一样:什么是一首美丽的诗,我们可能不很清楚,但这并不妨碍我们读诗时去鉴赏它。


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