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[数学研究] 庞加莱猜想——揭开“形状”的谜题

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发表于 2016-4-7 16:59:49 | 显示全部楼层 |阅读模式


《庞加莱猜想:追寻宇宙的形状》内容提要:1904年,法国数学家亨利·庞加莱提出了关于探寻宇宙形状的“庞加莱猜想”,自此后的100年间,不断有数学家向这个千禧难题发起挑战,最终庞加莱猜想被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼以令人惊叹的绝妙方法证明。然而这位神秘的天才数学家却拒绝了2006年菲尔兹奖……
庞加莱猜想究竟是什么?宇宙的形状又如何?佩雷尔曼是如何证明庞加莱猜想的?
本书为日本NHK特别节目制作组关于“庞加莱猜想”的专题纪录,将带领读者一起追寻宇宙的形状与神秘数学家的线索、谜题与真相。
640.webp (6).jpg 庞加莱猜想——揭开“形状”的谜题庞加莱猜想的诞生要追溯到距今一个世纪之前的 1904年,也就是亨利·庞加莱50岁之时。恰好在那个时候,新艺术运动1的流行让巴黎的大街小巷变得色彩缤纷。巨大的蘑菇状灯座,还有好似黑豹四肢的流线型家具……摒弃 18世纪工业革命以来占据主流的“机械性直线”的设计思想,这种以植物和动物为主题、强调“柔软的线条”的新设计理念是对旧设计思想的颠覆。新艺术运动的主要发生地之一正是数学家庞加莱出生的故乡南锡地区,这场艺术运动的代表人物中也包括了同样来自南锡地区的、以“南锡流派”而闻名于世的琉璃艺术家艾米勒·盖勒以及道姆兄弟。
南锡大学的资料室是法国有关庞加莱研究的重要基地。“这里收集了庞加莱的全部著作,所有的资料都是由庞加莱先生的家人赠予的。”格哈德·亨兹曼教授很自豪地从书架上取出一本论文集。这是庞加莱在1904年发表的论文《对位相分析学的第5次补充》,“庞加莱猜想”的原文正收录于此。“论文名字中的‘位相分析学’(AnalysisSitus)是庞加莱所总结的数学的一个分支,现在这个领域被称为拓扑学。在这篇论文中,庞加莱对自身进行了发问。鉴于当时还没有现在这样较为普及的定理—证明结构的论文形式,即首先描述定理,其次是对定理的证明过程。他的这篇论文还只是停留在自问自答的形式上。首先提出疑问,然后自己再去解答这个问题,论文的大段篇幅都延续了这种文字构成。”亨兹曼教授翻开论文,指着其中一部分文字说:“在这篇论文的最后,他提出了后来被称为‘庞加莱猜想’的那个问题。他写道:‘还有最后一个必须进行研究的问题,即使基本群可以与同胚空间互换,也不能形成单连通体,这个可能性存在吗?’”这位20世纪的“智慧巨人”留给世间的“庞加莱猜想”,人们用了100多年的时间才终于解开。严格用数学语言来表述的话,庞加莱猜想的具体内容应该是:任何一个单连通的、封闭的三维流形都与三维球面同胚。这个疑问究竟与宇宙的形状有什么样的关系,本文接下来的部分将会对此详细说明,请大家务必耐心阅读。
那么,让我们就先回到瓦伦丁·贝纳胡博士的特别课堂上。“同学们,在了解了庞加莱其人后,现在我将带领大家去了解‘庞加莱猜想’的世界。这个猜想是一个与宇宙的形状及构造有关的数学问题。”贝纳胡博士随之拿出了一截红色的绳子,贴着投影在墙壁上的宇宙图片,他将绳子沿着宇宙形状绕了一圈。“现在,请大家想象,有一个人带着足够长的绳子,从地球出发进行环绕宇宙一圈的旅行。假设这个人最后平安无事地返回了地球。这时,已经绕在宇宙上一圈的绳子,是不是会像这样,最终一定能够收回到自己的手中?”贝纳胡博士把刚才铺开的绳子拉回到了自己手头。“如果绳子一定能够收得回来,那么我们就应该可以判断宇宙是球形的。这就是‘庞加莱猜想’这个数学难题所要说明的内容。”如果能把环绕在宇宙上的绳子收回来,就可以说宇宙是球形的。这样听起来天方夜谭式的话语,让庞加莱高中的学生们都流露出讶异的表情,课堂上鸦雀无声。
640.webp (7).jpg 图 2- 3 贝纳胡博士将绳子环绕在投影于墙面上的宇宙图片上
博士这时提出,应该先去了解一下过去我们人类是怎样看待地球的形状的,从这个故事讲起,大家可能会更加容易理解庞加莱猜想。之后的课堂内容,博士带领大家从现代穿越到了16世纪的葡萄牙。

___________________1  新艺术运动开始于  19 世纪 80 年代,在 1890 年至 1910 年达到顶峰,是现代建筑与艺术启蒙的一场运动,对欧洲各国产生了广泛影响。这种风格中最重要的特性就是充满有活力、波浪形和流动的线条,反对复古。(维基百科)

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