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[数学研究] 蜘蛛的几何学

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发表于 2016-3-23 11:21:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
当我们观察着园蛛,尤其是丝光蛛和条纹蛛的网时,我们会发现它的网并不是杂乱无章的,那些辐排得很均匀,每对相邻的辐所交成的角都是相等的;虽然辐的数目对不同的蜘蛛而言是各不相同的,可这个规律适用于各种蜘蛛。
  我们已经知道,蜘蛛织网的方式很特别,它把网分成若干等份,同一类蜘蛛所分的份数是相同的。当它安置辐的时候,我们只见它向各个方向乱跳,似乎毫无规则,但是这种无规则的工作的结果是造成一个规则而美丽的网,像教堂中的玫瑰窗一般。即使他用了圆规、尺子之类的工具。没有一个设计家能画出一个比这更规范的网来。
  
  我们可以看到,在同一个扇形里,所有的弦,也就是那构成螺旋形线圈的横辐,都是互相平行的,并且越靠近中心,这种弦之间的距离就越远。每一根弦和支持它的两根辐交成四个角,一边的两个是钝角,另一边的两个是锐角。而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的。
  不但如此,凭我们的观察,这些相等的锐角和钝角,又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等,所以,总的看来,这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角。
  
  这种特性使我们想到数学家们所称的"对数螺线"。这种曲线在科学领域是很著名的。对数螺线是一根无止尽的螺线,它永远向着极绕,越绕越靠近极,但又永远不能到达极。即使用最精密的仪器,我们也看不到一根完全的对数螺线。这种图形只存在科学家的假想中,可令人惊讶的是小小的蜘蛛也知道这线,它就是依照这种曲线的法则来绕它网上的螺线的,而且做得很精确。
  
  这种对数螺线有什么特性,会使得蜘蛛对它“情有独钟”呢?那就要从人与自然的关系开始说起了。
  我们知道二维坐标系除了直角坐标系外,还有一种常用的是极坐标系,如下图
  
  我们把指数函数e^x换成极坐标,就变成了x^θ,θ是点与极轴的夹角。这时的指数函数就会变成对数螺线,也叫等角螺线。之所以叫等角螺线,是因为在极坐标中,螺线和射线的夹角始终是一个固定夹角。蜘蛛在织网的途中会以射线进行参考,保持固定角度不断向前织网,最后形成的螺线就是等角螺线啦!
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发表于 2016-3-29 09:30:07 | 显示全部楼层
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