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[近代史] 数学女孩2-费马大定理

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发表于 2016-3-18 16:57:11 | 显示全部楼层 |阅读模式
费马大定理
“哥哥,我问个问题可以吗?”尤里说道。“可以啊。”我目光从笔记本上移开,抬头看向她。11月的某个周六下午,尤里又如往常一样来了我家。我们吃了手抓肉饭以后,她就在我的房间懒懒散散地读着书,我则写着有限域 Fp 的运算表。“有费马大定理这个东西吧?哥哥。”“嗯。”
费马大定理当n≥3时,以下方程式不存在自然数解。xⁿ+yⁿ=zⁿ
“为什么费马大定理这么有名啊?”“这个嘛……我认为主要原因有三个。”我说。
● 问题本身谁都能理解。● 费马曾写道:“我确信已发现了一种美妙的证法。”● 即便如此,其后350年却没有人能证明它。
“除了专业的数学家以外,是没人能理争那些数学界最尖端的问题的。别说解答问题了,连问题的含义都没法理解。但费马大定理不同,谁都能理解问题的含义,但是却连数学家都解不开它。”“嗯,虽然人家很笨,不过人家也明白费马大定理的含义。”“都说尤里你不笨了。——费马在数学书的空白处留下的笔记是种暗示。”
我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。
“这不是证明不了还嘴硬的表现吗?”“人们一般都会这么想。——不过费马可是17世纪顶尖的数学家啊。”“咦?哥哥,这本书里说费马是‘业余人士’啊!”尤里把她正在看的书拿给我看。“那是因为费马并没有把数学家作为职业。在他生活的年代,专业的数学家很少。费马是一名律师,出于个人兴趣,利用闲暇时间研究数学。不过,这本书中把研究出当时最先进的数学的人称为主‘业余人士’,会引人误会的……费马在数学书的空白处写下了好些问题,没想到这些问题成了‘超越时空的题集’。后世的数学家们虽然渐渐解开了费马遗留的问题,但还剩下一个问题,谁都没能把它解开。”“那就是‘费马大定理’吗?”“对。”“因为留到了最后,所以又叫最后定理(费马大定理又称‘费马最后定理’。——译者注)。游戏关底最后的大魔王啊。”“费马于1637年左右留下这个问题,而怀尔斯于1994年才提交论文证明它。经过怀尔斯的证明,费马大定理才真正成为了定理。”“成为了定理是怎么回事?”“不能被证明,就无法称之为定理。虽然费马主张‘当n≥3时,xⁿ+yⁿ=zⁿ没有自然数解’,但却没留下证明过程。数学领域的主张,也就是我们所说的命题,未经证明的话只不过是猜想而已。在‘费马大定理’得到证明以前,应该称它为‘费马猜想’才对。”“喔……这样啊。哥哥,我还有个问题。这里列出了费马大定理的证明时间表……”尤里翻开书。
“费马大定理”的证明时间表1640年FLT(4)由费马证明1753年FLT(3)由欧拉证明1825年FLT(5)由狄利克雷和勒让德证明1832年FLT(14)由狄利克雷证明1839年FLT(7)由拉梅证明
“这里写的 FLT(3) 和 FLT(4) 是什么?”“FLT 是 Fermat's Last Theorem(费马大定理)的首字母略称。费马的方程式中出现了n这个变量对吧。”
xⁿ+yⁿ=zⁿ
“嗯。”“费马大定理指的是,在
n=3,4,5,6,7,…
中,对于任意n,都不存在满足方程
xⁿ+yⁿ=zⁿ
的一组自然数(x,y,z)。就是这么个定理。”“嗯,然后呢?”“虽然费马大定理涉及了所有大于等于3的n,但是 FLT(3) 指的是单独涉及n=3这个情况的命题。也就是说,FLT(3) 所指的命题是‘不存在满足方程 x3+y3=z3 的一组自然数(x,y,z)’。” 马哈-01.jpg “哦,我知道了。——咦?表上缺 FLT(6) 啊!”“尤里真棒,没有一下带过,而是认真地确认了内容呢。”“喵呼……都说了人家会害羞的!”“证明了 FLT(6) 的是欧拉啊。”“诶?但是欧拉证明的不是 FLT(3) 吗?”“能证明 FLT(3) 也证明了 FLT(6) 啊。”“诶?为什么啊?”“那我们来证明‘如果方程式 x3+y3=z3 不存在自然数解,那么方程 x6+y6=z6 也不存在自然数解’这个命题吧。”“人家也能明白这么难的证明吗?”“能明白的,我们用反证法。”
◎   ◎   ◎我们用反证法。作为前提,我们假设已经证明了“方程式 x3+y3=z3 不存在自然数解”。我们要证明的命题是“方程式 x6+y6=z6 不存在自然数解”。反证法的假设就是否定这个命题。
反证法的假设:“方程式 x6+y6=z6 存在自然数解。”
然后,我们将自然数解(x,y,z)替换成(a,b,c)。虽然实际上并不存在(a,b,c)这三个数字,但我们要研究的是,如果这三个数字存在,那么我们能推导出什么。然后我们就期待找到矛盾吧。这就是反证法。那么,由(a,b,c)的定义可知,下面等式成立。
x6+y6=z6
这个等式可以像下面这样变形。 马哈-02.jpg 要说为什么,因为x6=(x2)3。要凑出6次方,就用2次方的3次方就可以了。这就是指数运算法则。接下来我们定义自然数A,B,C,如下所示。(A,B,C)=(a2,b2,c2)这样一来…… 马哈-03.jpg 也就是说,(A,B,C)是方程式 x3+y3=z3 的自然数解。
推导出的命题:“方程式 x3+y3=z3 存在自然数解。”
话说回来,作为我们谈论的出发点,我们是以 FLT(3) 为前提的。
前提:“方程式 x3+y3=z3 不存在自然数解。”
这就矛盾了吧。因此我们根据反证法,否定了反证法的假设。这样,我们就证明了“方程式 x6+y6=z6 不存在自然数解”。
◎   ◎   ◎“原来发此,也就是说,如果 x6+y6=z6 存在自然数解,那么就能由这个结论推出 x3+y3=z3 的自然数解喽?”“没错,刚才的内容还能推广到一般的情况,也就是说,想证明当 n≥5 时 FLT(n) 成立的时候,没必要一个个去证明所有的n。只要证胆当质数p=5,7,11,13……时,FLT(p)成立就可以了哦。”“诶?只要证明质数就行了啊。咦?要是这样的话狄利克雷为什么还要证明 FLT(14) 呢?因为14等于7×2,所以14不是质数啊……先证明 FLT(7) 不是更好吗?”“尤里……确实可能是这样,不过狄利克雷肯定没能证明 FLT(7) 啊……”“啊,这样啊。”尤里耸了耸肩,“话说回来,数学家们还真能想啊,哥哥。感觉这种天衣无缝的理论好舒服啊,怎么说呢,这种没有退路的感觉……让人兴奋得颤抖!就像推理电视剧似的。数学这东西,竟然能用严谨的逻辑来处理……嗯,嘿咻……”尤里抬起纤细的手臂,向上伸了个懒腰,简直就像只苗条的猫咪。“不过啊,尤里。数学应该不只是这样。在追寻到严谨的逻辑之前,有时也会在森林中迷路哦。”“诶,是这样啊。数学家不就是那种绝对不会犯错的好学生吗?”“数学家在思考的过程中也会犯很多的错误。当然,最后完成的论文有错就麻烦了……”

“这么说来,尤里你在考试的时候有过计算错误吗?”

“计算错误基本没有,不过经常有不能一下子解开问题的时候。因为人家笨啊。”“才不是呢,尤里。”我说,“都说了你不笨。我……不,哥哥我啊,知道尤里不笨,所以你准说这种话。尤里很聪明的哦。”“哥哥……”“尤里很聪明哦……真的是一只聪明的小猫女哦。”“人家正感动呢,别逗人家笑喵!”
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