非欧几何与罗巴切夫斯基 - 数学史 我爱数学网-数学爱好者的家园-中国专业化的数学论坛之一

我爱数学网-数学爱好者的家园-中国专业化的数学论坛之一

查看: 664|回复: 2

[数学史话] 非欧几何与罗巴切夫斯基

[复制链接]

5

主题

34

帖子

328

积分

小学二年级

Rank: 2Rank: 2

积分
328
发表于 2014-10-2 23:24:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
几何学的发源可以追溯到古埃及,几何学的本意是测量的意思,它是古埃及人进行土地测量时的各种经验成果的总结。“据希腊历史学家Herodotus说,埃及是因为尼罗河每年涨水后需要重定农民土地的边界才产生几何的。” 古希腊人继承和发展了古埃及的几何学 ,爱奥尼亚学派的领袖和创立人泰勒斯(Thales)和他的学生毕达哥拉斯(Pythagoras) 等著名的哲学家和数学家用演绎法将古埃及的“试验几何学”改造为“推理几何学”,晚期的毕达哥拉斯学派(公元前400年左右)已要求数学结果应当根据明确规定的公理用演绎法推出。
欧几里得(EuclidBC330-BC275)集几何学之大成,将前人分散的几何学成果概括总结加以系统化,写成了《几何原本》这部影响历史的著作。《几何原本》共十三卷, 其中五卷为平面几何,五卷为立体几何,三卷为数和比例。欧几里得几何学是科学史上第一个公理化演绎系统,欧几里得从二十三个名词定义、五条公理(一切科学所共有的真)、五条公设(只是为某一门科学所接受的第一性原理),共推导出467条定理。《几何原本》虽然是前人成果的概括总结,“但整部书的陈述方式——一开头就摆出所有的公理,明确提出所有的定义,和有条不紊的一系列定理——这是欧几里得所独创的。
然而,几何原本的定理的证明有一些遗漏和错误,并且在论证过程中引入了很多没有提出的假定,这些假定是因为在图形上看或直观上显然的事实而无意中用上去的。同时,欧几里得时代并不十分看重演绎推理,“事实上,希腊人对于从简单演绎法得出的命题是不很看得起的。希腊人把那些能从定理直接推出的结果称作系或衍论。Proclus把这种无需非多大力气得出的结果称作横财或红利。”《几何原本》中的公设五是欧几里得自己提出的,它的内容是“若一直线与两直线相交,且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。”(If a straight line falling on two straightlines makes the interior angles on the same side less than two right angles,the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on whichthe angles are less than the two right angles. ) 这一公设引起了广泛的讨论,因为它不如其他公理、公设那样简明,欧几里得本人也不满意这条公设,他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它。两千多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀,孜孜不倦的试图解决这个问题,数学家们主要沿两条研究途径前进:一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设;另一条途径是试图从其他九条公理、公设推导出平行公设来。但十八世纪以前的两千一百年的历史中,平行公设的研究似乎没有什么进展,以至于一些数学家很沮丧,“寻求另一个可接受的公理替代Euclid公理,或者证明Euclid断言必然是一个定理,做这种工作的人是如此之多,又是如此徒劳无功,使得1759年达朗贝尔(d`Alembert)把平行公理问题称之为‘几何原理中的家丑’”。
沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795年普雷菲尔(JosephFenn 1748- 1819)给出的:“通过不在直线L上的一给定点P,在P与L的平面上,只有一条直线不与L相交。”我们今天中学课本里使用的公理“过直线外一点,有且只有一条直线与原直线平行”就来源于此。沿第二条途径,数学家尝试用直接法和间接法两种方法来证明第五公设。1733年,意大利数学家萨克里(Gerolamo Saccheri 1667-1733)出版了《欧几里得无懈可击》(Euclidab Omni Naevo Vindicatus)一书,提出用归谬法证明第五公设,萨克里从四边形ABCD开始,如果角A和角B是直角,且AC=BD,容易证明角C等于角D。这样第五公设便等价于角 C和角D是直角这个论断。萨克里提出两个假设: 1、 钝角假设:角C和角D都是钝角。2、 锐角假设:角C和角D都是锐角。萨克里自认为这两个假设并用其他九条公理、公设可以导出矛盾,于是就证明了第五公设。实际上萨克里的证明过于冗长,不自觉的引入了与第五公设等价的其他假设;或得出的结论只是与经验不符,并未得出矛盾。但萨克里的研究为后人提供了帮助,其后J.兰伯特(Lambert)、F.K.施魏卡特(Schweikart)和F.A.托里努斯(Taurinus)等人得出结论,第五公设不能证明,即它与其他九条公理、公设相互独立;并且注意到,球面上的几何具有以钝角假设为基础的几何性质,虚半径球面具有以锐角假设为基础的几何性质。这种结论已非常接近非欧几何了。
在前人的基础上,高斯(Gauss1777-1855)、鲍耶(Bolyai 1802-1860)、罗巴切夫斯基(Lobatchevsky 1793-1856)三人都独立地发现了非欧几何(双曲线几何学),后两人被认为是非欧几何的创建者,他们都公开发表了自己的论文,而高斯并没有写出过完整的推导。由于罗巴切夫斯基一生都为使非欧几何得到承认而努力,为了纪念罗巴切夫斯基对发展几何学所做出的贡献,这种非欧几何学被称为罗巴切夫斯基几何学。1854年,高斯的得意弟子G.F.B.黎曼发展了他和其他人的思想,建立起另一种形式的非欧几何,即黎曼几何。由于第五公设是独立的,因此选取与第五公设相矛盾的公理可以建立逻辑上相容的几何,这种几何就是非欧几何。它有两种形式,如果用“过直线外一点至少可以引两条直线平行于已知直线”这个命题代替第五公设,就可得到罗巴切夫斯基几何,即双曲几何;如果用 “过直线外一点不存在平行于已知直线的直线”这个命题代替第五公设,就可得到黎曼几何,即椭圆几何。
罗巴切夫斯基,非欧几何之父,生于俄罗斯下诺夫戈罗德,是波兰血统的农民家庭的儿子。1807年进入喀山大学,并逐步显示出数学方面的才能。他21岁时已在大学里执教,并很快提升到教授职位,1827年担任大学校长。他写过许多数学论文,但是他的主要名声是作为数学的“异端”,而且是极其成功的异端而确立的。2000年来欧几里得及其几何体系一直享有至高无上的地位。学者们普遍认为:数学(特别像几何)包含着基本的真理,这些真理不依赖人的认识而存在,就如同2加2必定等于4以及三角形的三个角之和必定等于180度。罗巴切夫斯基摈弃了这种传统思想的束缚,大胆的设想:不管第5公理是否能被证明,他只考虑第5公理是否真有必要,以及舍弃它能否建立另一种几何。这个思想火花诞生在1826年。那时他已在他讲课时提到:假如人这样的公理出发,即通过一已知直线外一已知点,至少可以画出两条直线平行于该直线,那么这个公理加上欧几里得其余的公理就可以用来得到一种新的非欧几何。
罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的。开始,他也是循着前人的思路,试图给出第五公设的证明。在保存下来的他的学生听课笔记中,就记有他在1816--1817学年度向何教学中给出的几个证明。可是,很快他便意识到自己的证明是错误的。前人和自己的失败从反面启迪了他,使他大胆思索问题的相反提法:可能根本就不存在第五公设的证明。于是,他便调转思路,着手寻求第五公设不可证的解答,这是一个全新的,也是与传统思路完全相反的探索途径。罗巴切夫斯基正是沿着这个途径,在试证第五公设不可证的过程上发现一个新的几何世界的。他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法--反证法。这种反证法的基本思想是,为证“第五公设不可证”,首先对第五公设加以否定,然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统,并由此展开逻辑推演。假设第五公设是可证的,即第五公设可由其它公理公设推演出来,那么,在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾,至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾;反之,如果推演不出矛盾,就反驳了“第五公设可证”这一假设,从而也就间接证得“第五公设不可证”。依照这个逻辑思路,罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平面上直线外一点,只能引一条直线与已知直线不相交”作以否定,得到否定命题“过平面上直线外一点,至少可引两条直线与已知直线不相交”,并用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统展开逻辑推演。在推演过程中,他得到一连串古怪的命题,但是,经过仔细审查,却没有发现它们之间含有任何罗辑矛盾。于是,远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言,这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何,它的罗辑完整性和严密性可以和欧几里得几何相媲美。而这个无矛盾的新几何的存在,就是对第五公设可证性的反驳,也就是对第五公设不可证性的逻辑证明。由于尚未找到新几何在现实界的原型和类比物,罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”。
在创立和发展非欧几何的艰难历程上,罗巴切夫斯基始终没能遇到他的公开支持者,就连非欧几何的另一位发现者德国的高斯(Gauss,1777-1855)也不肯公开支持他的工作。高斯是当时数学界首屈一指的数学巨匠,负有“欧洲数学之王”的盛名,早在1792年,也就是罗巴切夫斯基诞生的那一年,他就已经产生了非欧几何思想萌芽,到了1817年已达成熟程度,他把这种新几何最初称之为“反欧几何”,后称“星空几何”,最后称“非欧几何”。但是,高斯由于害怕新几何会激起学术界的不满和社会的反对,会由此影响他的尊严和荣誉,生前一直没敢把自己的这一重大发现公之于世,只是谨慎地把部分成果写在日记和与朋友的往来书信中。当高斯看到罗巴切夫斯基的德文非欧几何著作《平行线理论的几何研究》(1840年)后,内心是矛盾的,他一方面私下在朋友面前高度称赞罗巴切夫斯基是“俄国最卓越的数学家之一”,并下决心学习俄语,以便直接阅读罗巴切夫斯基的全部非欧几何著作;另一方面,却又不准朋友向外界泄露他对非欧几何的有关告白,也从不以任何形式对罗巴切夫斯基的非欧几何研究工作加以公开评论。他积极推选罗巴切夫斯基为哥延根皇家科学院通讯院士,可是,在评选会上和他亲笔写给罗巴切夫斯基的推选通知书中,他对罗巴切夫斯基在数学上的最卓越贡献--创立非欧几何却避而不谈。高斯凭在数学界的声望和影响,完全有可能减少罗巴切夫斯基的压力,促进学术界对非欧几何的公认。然而,在顽固的保守势力面前他却丧失了斗争的勇气。高斯的沉默和软弱表现,不但严重限制了他在非欧几何研究上所能达到的高度,而且客观上助长了保守势力对罗巴切夫斯基的攻击。
1856年2月12日,伟大的学者罗巴切夫斯基在苦闷和抑郁中走完了他生命的最后一段路程。喀山大学师生为他举行了隆重的追悼会。在追悼会上,他的许多同事和学生高度赞扬他在建设喀山大学、提高民族教育水平和培养数学人材等方面的卓越功绩,可是谁也不提他的非欧几何研究工作,因为此时,人们还普遍认为非欧几何纯属“无稽之谈”。
罗巴切夫斯基为非欧几何的生存和发展奋斗了三十多年,他从来没有动摇过对新几何远大前途的坚定信念。为了扩大非欧几何的影响,争取早日取得学术界的承认,除了用俄文外,他还用法文、德文发表了自己的著作,同时还精心设计了检验大尺度空间几何特性的天文观测方案。不仅如此,他还发展了非欧几何的解析和微分部分,使之成为一个完整的、有系统的理论体系。在身患重病,卧床不起的困境下,他也没停止对非欧几何的研究。他的最后一部巨著《论几何学》,就是在他双目失明,临去世的前一年,口授他的学生完成的。
历史是最公允的,因为它终将会对各种思想、观点和见解做出正确的评价。1868年,意大利数学家贝特拉米(Beltrami,1835-1899)发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面(例如拟球曲面)上实现。这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾。人们既然承认欧几里得是没有矛盾的,所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时,长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究,罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美,他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
在科学探索的征途上,一个人经得住一时的挫折和打击并不难,难的是勇于长期甚至终生在逆境中奋斗。罗巴切夫斯基就是在逆境中奋斗终生的勇士。同样对于我们,正确理解那些已经成熟的或具有明显现实意义的科学技术并不难,难的是及时在思考中获得那些尚未成熟或现实意义尚未显露出来的信息。因此,我们必须在加强自主学习的过程中,不盲目迷信书本、迷信权威,在已有信息的基础上,勇于探索未知的事物。
回复

使用道具 举报

0

主题

13

帖子

121

积分

小学一年级

Rank: 2Rank: 2

积分
121
发表于 2014-10-3 00:00:15 | 显示全部楼层
这个就是后来的黎曼几何吧,太牛
回复

使用道具 举报

50

主题

1955

帖子

3568

积分

高中二年级

Rank: 5Rank: 5Rank: 5

积分
3568

活跃会员灌水之王最佳新人

发表于 2015-3-9 19:26:56 | 显示全部楼层
长知识了
回复

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 会员注册

本版积分规则

Powered by Discuz! X3.2

© 2001-2013 Comsenz Inc

关于我们 | 网站地图 | 我爱数学网 ( 沪ICP备16005585号-3  

GMT+8, 2019-10-15 12:45 征信网

快速回复 返回顶部 返回列表