从“斐波那契数列”与“黄金分割”看数学的统一美 - 数学史 我爱数学网-数学爱好者的家园-中国专业化的数学论坛之一

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[数学史话] 从“斐波那契数列”与“黄金分割”看数学的统一美

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发表于 2014-9-17 17:01:33 | 显示全部楼层 |阅读模式
《达芬奇密码》以这样的悬念开场:临近午夜,法国卢浮宫年迈的馆长被人杀害在艺术大画廊的地板上。在人生的最后时刻,馆长脱光了衣服,用自己的身体摆成达芬奇的名画《维特鲁威人》的样子,并在尸体旁边留下了一个令人难以琢磨的密码:13-3-2-21-1-1-8-5,这些看似无序的数字,密码专家索菲-奈芙一看就明白,实际它可以按照递增排序为1-1-2-3-5-8-13-21,这正是斐波那契数列,是数学史上的一个著名数列。小说借斐波那契数列和另外两个隐语(字母重排后,一句是莱昂纳多.达.芬奇,一句是蒙娜丽莎),制造重重悬念,使读者欲罢不能。

       达芬奇、维特鲁威人这几个词,都以高频率出现在上一期的数学故事—“‘黄金分割’的应用”中,但它们不是建立起黄金分割和斐波那契数列的桥梁,它们都只是这两个规律的应用和体现而已。

       对斐波那契数列的描述有多种方法、多个版本,我们这里引用《珠算原理》(Fibonacci,1202年,出版于意大利)中对斐波那契数列的描述。
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假设一对初生兔子要一个月才到成熟期,而一对成熟兔子每月会生一对兔子,那么,由一对初生兔子开始,并且兔子不会死亡,问:一年后会有多少对兔子呢?
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如上图所示,空心圆圈代表没有成熟的一对兔子,黑色实心圆圈代表成熟的一对兔子,可以计算出由兔子数量(对)组成的数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...

       斐波那契数列的另一种描述为:若一个数列,前两项等于1,而从第三项起,每一项是其前两项之和,则称该数列为斐波那契数列。且这个数列中的数,如1,2,3,5,8,13,21,34,55等都被称为斐波那契数。

       既然神似黄金分割了,那生活中也必定无处不在斐波那契的身影了。看看这些可爱的花朵的花瓣的数量,都是斐波那契数。大多数植物的花,其花瓣数都恰是斐波那契(Fibonacci)数。

       在中国,梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表着五福。民国把梅花定为国花,声称梅花五瓣象征五族共和,具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。但是梅花有五枚花瓣并非独特.事实上,花最常见的花瓣数目就是五枚,例如与梅同属蔷薇科的其他物种,像桃、李、樱花、杏、苹果、梨等等就都开五瓣花。常见的花瓣数还有:3枚,鸢尾花、百合花(看上去6枚,实际上是两套3枚);8枚,飞燕草;13枚,瓜叶菊;向日葵的花瓣有的是21枚,有的是34枚;雏菊的花瓣有的是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。
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有3个花瓣,毛茛属的植物有5个花瓣,翠雀属植物有8个花瓣,万寿菊属植物有13个花瓣,紫菀属植物有21个花瓣。
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仙人球也是如此。兰花、茉利花、百合花

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大自然里一些花草长出的枝条也会出现斐波那契数,有一种叫着“喷嚏麦”(Sneezewort的直译,可能会像鲁迅指出的闹“牛奶路”Mikyway的笑话,希望懂植物学的读者赐以正确的中文名)的花草,新的一枝从叶腋长出,而另外的新枝又从旧枝长出来,老枝条和新枝条的数目的和就像那兔子问题一样。
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仔细观察向日葵的花,可以看到,向日葵花盘内,种子是按对数螺线排列的,有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数,一般是34和55,大向日葵是89和144,还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线,它们都是相继的两个斐波那契数。
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还有下面的松塔和菜花结构中的斐波那契元素。
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这一模式几个世纪前已被注意到,此后曾被广泛研究,但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是:这是植物生长的动力学特性造成的;相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776度;这使种子的堆集效率达到最高。

       无论是上面的松果的结构,还是下面的向日葵和菠萝的结构中,都蕴含着同一个元素—斐波那契螺旋线。
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如果顺时针与逆时针螺旋的数目,是斐波那契数列中相邻的2项,可称其为斐波那契螺旋,也被称作黄金螺旋。

       不仅是自然界中纯天然的东西有这么多的斐波那契元素,经济学中也有很多的斐波那契元素,如股票指数增减的“波浪理论”:
① 完整周期3上2下(或5上3下或3上5下),常是相继两斐波那契数;
② 每次股指增长幅度(8,13等)或回调幅度(8,5),常是相继两斐波那契数。
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1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后,发现了股指增减的微妙规律,并提出了颇有影响的“波浪理论”。该理论认为:股指波动的一个完整过程(周期)是由波形图(股指变化的图象)上的5(或8)个波组成,其中3上2下(或5上3下),如图,无论从小波还是从大波波形上看,均如此。其中的2、3、5、8均系斐波那契数。

       同时,每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成。比如:如果某日股指上升8点,则股指下一次攀升点数为13;若股指回调,其幅度应在5点左右。显然,5、8、13为斐氏数列的相邻三项。

       因此,可以说,斐波那契以他的兔子问题,猜中了大自然的奥秘,而斐波那契数列的种种应用,是这个奥秘的不同体现。

       那说了半天了斐波那契数列和黄金分割有着统一美,到底是哪里统一了呢?最后交待一下。

       首先,斐波那契数列的通项公式是
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一个正整数序列的通项,竟然可以用带有无理数的式子表达,这是十分意外的结果。而这两个无理数更是眼熟吧,不就是黄金分割率和其倒数嘛。

       第二,斐波那契数列相邻两项的比值的极限值为黄金分割率的倒数,即
                        

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发表于 2014-9-18 11:09:02 | 显示全部楼层
好深 奥。
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楼主真心的专一呀!真的很难懂啊
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发表于 2014-9-18 13:54:18 | 显示全部楼层
长知识了!
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发表于 2014-9-18 13:55:08 | 显示全部楼层
斐波那契数列,蛮难董的,前几天刚刚听孩子说过。我感觉我都弱智了……
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学习了!
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发表于 2014-9-21 10:53:55 | 显示全部楼层
数理是自然科学的锁钥,从数理中,也已发现很多基本原则,也许要了解宇宙和生命,从数理中可能会得到惊人的指示!
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发表于 2014-9-23 14:41:32 | 显示全部楼层
太高级了,听都听不懂
[发帖际遇]: 被钱袋砸中进医院,看病花了 3 金币. 幸运榜 / 衰神榜
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发表于 2014-9-24 09:42:06 | 显示全部楼层
好酷的知识
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发表于 2014-10-6 16:45:04 | 显示全部楼层
楼主辛苦了
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