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[数学研究] “白马非马”

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发表于 2014-12-16 11:42:16 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一个个别与一般关系的争论

     我国战国时期的哲学家、逻辑学家公孙龙(前320—前250),是名家的代表人物.其主要著作有《公孙龙子》,他在其中的一篇“白马论”中提出了著名的“白马非马”命题.

    【辩论】据说公孙龙过关,关吏说:“按照惯例,过关人可以,但是马不行.”公孙龙便说“白马非马”.即白马不是马.要马,黄马黑马都可以.要白马,黄马黑马就不行了.也就是说,这匹黄马,那匹黑马,我身边的这匹小马……,它们构成了马的概念.如果白马是马,而马可以是黑马,于是白马成了黑马.可见白马非马.公孙龙的一番论证,说得关吏哑口无言,只好连人带马统统放过.你能说清楚这个命题吗?
     上面的这种说法曾经难住了许多人.实际上,这是个别与一般的关系问题,是哲学家们长期争论的话题.
对于这个诡论,一方面是弄不清一般与个别的关系,另一方面是利用了语言的歧义.怎样用数学的思维方式解决这个问题呢?数学观点就是,必须弄清楚何谓“马”,何谓“白马”,还必须知道“是”、“非”等意义.直到19世纪80年代,康托尔创立了集合论,运用集合概念才彻底辨析“白马非马”的诡论.
     康托尔 (GeorgCantor,1845—1918)出生于俄国的一个丹麦犹太血统的家庭,后随父母迁居德国.因父亲力促他学工,于1863年带着这个目的进了柏林大学.在那里他受了数学家威尔斯特拉斯 (Weierstrass)的影响转攻纯数学.29岁时,他在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章.他继续发表有关集合论与超限数方面论文直到1897年.
     下面用集合观点分析这个“白马非马”的诡论. 

    “马”是一个集合,“白马”是“马”的一个子集,具体的一匹马是集合中的一个元素,是一个个体.那么“白马非马”中的“非”是什么意思呢?

    “是”可以表示“等于”.如“曹雪芹是《红楼梦》(原著)的作者”,这里“是”表示等于.“是”也可以表示“属于”.如“曹雪芹是我国古代文学家”,这里“是”不再表示等于了.“我国古代文学家”是一个集合,曹雪芹是这个集合中的一个元素.元素与集合的关系,在数学上用“属于”来表示.“是”还可以表示“包含于”.如“鲸鱼是哺乳动物”这句话里的“鲸鱼”是一个集合,“哺乳动物”也是一个集合.这句话表示:“鲸鱼”集合是“哺乳动物”集合的子集.集合“鲸鱼”包含于集合“哺乳动物”.

     我们知道,“非”是“是”的反面.“是”可以表示“等于”、“属于”或“包含于”,“非”也就可以表示“不等于”、“不属于”或“不包含于”.“白马非马”中的“非”字,如果表示“不等于”,这句话是对的,因为白马集合确实不等于马集合.如果表示“不包含于”,就错了,因为白马集合包含于马集合.
     只要说清楚“非”字的含意,“白马非马”也就成了一句索然无味的话题了.
     哲学家大都格外重视数学.比如,创立理念论唯心主义哲学体系的柏拉图(Plato,前427—前347)就特别强调数学的重要性.
     柏拉图出生于名门之后,父亲是雅典末代国王科德鲁斯的后代,母亲是雅典改革家索伦的后裔.在这种家庭环境中长大的柏拉图不可能不烙下政治的印记,他后来写下了著名的《理想国》便不足为奇了.柏拉图从20岁的时候追随苏格拉底(Socrates,前469—前399),后来去过埃及学到了发达的天文知识和几何学.公元前387年,柏拉图回到雅典,在朋友们的帮助下建立了一个名叫阿卡德穆学园,这是欧洲最早的高等学府.
     当时,希腊地区的大批青年纷纷来到这里求学,这些学生中就有亚里士多德.柏拉图向学生们传授哲学、数学、天文学和音乐.学园门口有一个显目的牌子,上面书写着“不懂几何者不得入内”.对他来说,世界之按照数学来设计一事是毫无疑问的,因为“神永远按几何规律办事”.柏拉图认为只有经过精确的定义和清晰的推理,才有可能得到真理、了解真理.
          到了17世纪,出生于法国的解析几何创始人、现代哲学之父的笛卡儿(ReneDescartes,1596—1650),他还曾经用数学方法去证明哲学真理呢!为什么哲学家特别推崇数学呢?
     当哲学家要说明世界上的一切时,他看到万物(如宇宙的形成、运行和生命的起源等等)都具有一定的量,呈现出具体的形,从而离不开数学.
     当哲学家们谈论怎样认识真理时,他们不能不注意到数学真理是那么清晰而无可怀疑,是那么必然而普遍.
(来源于培杰国际数学文化)

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发表于 2016-3-9 17:08:41 | 显示全部楼层
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