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[几何] 几何数学

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发表于 2014-12-13 10:05:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
       几何基础(foundation of geometry) 数学基础的一个分支学科。是给出几何学的根据以及研究按严格的逻辑演绎体系来陈述几何学内容的学科。古希腊哲学家、科学家亚里士多德(Aristotle)总结了古代积累起来的逻辑知识,并以数学及其他演绎科 学为实例,把完全三段论作为无条件承认的前提或公理,并由此推出其他三段论,因而成为历史上第一 个正式给出公理系统的学者。欧几里得(Euclid)将逻辑的公理演绎方法应用于几何学,完成了《几何原本》的著述。这本书不仅在内容上集前人之大成,而 且用严格的逻辑演绎系统地进行了陈述,并首次提 出了几何根据的问题,因而不仅由此湮没了过去的甚他几何著作,而且也由此使得他的事业受到人们 的崇高评价.

学科发展

        《几何原本》几乎是两千多年间一直被公认为用严格的逻辑结构来建立学科体系的典范。后来 英国数理逻辑学家罗素(RusselhB.A. W.)所指出 的那样他的定义并不总是下了定义的,他的公理 并不总是不可证明的,他的证明需要许多他还没有 完全意识到的公理.”
古代学者就已开始着手 改善《几何原本》中所陈述的那个欧氏几何公理系统.古希腊数学家、力学家阿基米德(Archimedes)就曾为了严格陈述关于长度、面积和体积的测量理 论而扩充过欧几里得的公设表.人所共知的阿基米 德公设便是其中一例.
        直到19世纪末期,人们才第一次给出了一个完备的公理系统.从这个公理系统出发,能够不依靠任何空间观 念的直观而推出欧氏几何的所有定理.这一公理系统的构造成功应归功于德国数学家希尔伯特 (Hilbert,D.).他的这个欧几里得几何公理系统于1899年首次发表,并由此而激起了人们对欧几里得 几何基础的广泛关注.他的《几何基础》不仅解决了如何用公理化方法研究几何学的基础问题,还把公 理化方法推向了完善化阶段,以致使该书成为近代 公理化思想方法的代表作.而公理化方法又有力地推动着数学基础的研究与探索.
        19世纪的俄国年轻数学家罗巴切夫斯基产生了与前人完全不同的信念:他认为第五公设不能从其余的几何公理中推演 出来,欧氏几何不是惟一的真实.于是罗巴切夫斯基在欧氏几何公理系统中剔除第五公设,却同时加进 一个相反于第五公设的公理过平面上一已知直线 外的一点,至少可以引两条直线与该已知直线不相 交.人们称之为“罗氏公设“因此构造出一个新的 几何系统,称为罗巴切夫斯基几何系统。
        直到19世纪末叶,法国数学家庞加莱(Poincare,(J.-)H.)率先在欧氏几何系统中构造了 一个罗氏几何模型,就是在欧氏几何系统中选取三类几何对象,分别称为罗氏平面、罗氏直线、罗氏点, 亦即分别作为罗氏几何元素“平面、直线、点”的解 释,然后再去验证所选的这些几何对象之间的关系 能以满足罗氏几何系统的每一条公理的要求.
       法国数学家笛卡儿(Descartes,R.)所创建之解析几何的启发,终于在实数系统中构造了一个欧氏几何系统的模型.这 样,只要假定实数系统是无矛盾的,则欧氏几何与罗氏几何都是相容的.并由此可以进一步得出结论:第 五公设是不可能从其他公设、公理中作为定理而被证明,否则罗氏几何系统中将有第五公设与罗氏公 设并存而成为矛盾系统了.因而相对于实数系统为 相容系统而言,第五公设问题已获得了明确的答案. 但实数系统究竟相容与否,最终又要归结到作为整 个经典数学之理论基础的集合论的相容性问题.还 应指出,当时年仅21岁的匈牙利数学家波尔约 (Bolyai,J)和德国数学家髙斯(Gauss,G.F.)也不约而同地发现了新几何的存在。
:大师们有空来看一看,评论一下吧!



词条标签: 几何


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发表于 2014-12-13 19:50:13 | 显示全部楼层
复杂了,来赚钱币的飘过
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 楼主| 发表于 2014-12-14 16:27:53 | 显示全部楼层
你傻啊?
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发表于 2015-3-9 18:10:14 | 显示全部楼层
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