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[数学综合] 反证法就在身边

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发表于 2014-11-13 09:43:22 | 显示全部楼层 |阅读模式

反证法是“间接证明法”一类,是从反面的角度的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括:“若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反证法就是从反论题入手,把命题结论的否定当作条件,使之得到与条件相矛,肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以。在我们的生活中,有很多反正法的例子。

1、比如妈妈常常因家里谁做错了事而大发雷霆。有一次,我和爸爸在看电视,妹妹和妈妈在厨房洗碗。突然。有盘子打碎了,当时一片寂静。我说一定是妈妈打破的,为什么?证明:假如不是妈妈打破的,妈妈一定会大骂,当时是没有。所以结论是妈妈打破了盘子。

2、甲是乙父,乙是丙父,欲证明甲是丙的爷爷。

设甲不是丙的爷爷,

则甲不是乙的父亲或乙不是甲的父亲

而这与题设相矛盾,

所以甲是丙的爷爷

3、证明:这个餐厅的菜很难吃。

假设好吃,那么周末晚上一生意很好,而实际没有顾客,于是矛盾,所以假设不成立,所以难吃 。

4、诸葛亮的“空城计”与反证法:

三国时期,蜀国丞相诸葛亮屯兵阳平时,派大将魏延领兵去攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱军士出城应战,无异以卵击石,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,决定打开城门,让老弱军士在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声幽雅,司马懿见此情景,心中疑虑:“诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,从不冒险,今天如此这般,城内恐怕必有伏兵,故意诱我入城,绝不能中计也。”

于是急令退兵。这就是家喻户晓的“空城计”。当学生讲完了故事,我就提出问题请同学们分析:

(1)、诸葛亮面临的问题是什么?

(2)、从正面考虑该如何解决这个问题?

(3)、诸葛亮是如何考虑的?

大家很熟悉这个故事,却从没想到它其实是反证法的思想体现,很快得出结论:诸葛亮从问题(守住城)的反面(不守城)考虑,解决了用正面方法(用少数老弱军士去拼杀)很难或无法解决的问题。我们通过分析“空城计”与反证法的联系,用反证法的典范欣赏诸葛亮的聪明才智。这两个活生生的例子的引入,让我们感受到反证法存在的价值,对我们的思想、思维方式肯定会形成强烈的冲击,潜移默化地影响他们考虑问题的角度,这是做多少习题也换不来的成效。我想,这应该是数学的精髓吧!

5、1589年的一天,意大利著名的比萨斜塔周围积聚了许多人,大家都静静地凝视着塔顶。只见一个人登上了比萨斜塔,手里拿着两个不同重量的物体,两手同时放开这两个物体,结果人们发现这两个物体同时落到了地面。这个人是谁呢?他在做什么呢?原来他就是伟大的科学家伽利略,他在验证自己得出的一个重要的结论。

在古希腊有一个很有名的哲学家,名叫亚里士多德,他认为“不同重量的物体从高空下降的速度与它的重量成正比”,也就是说,物体越重,下降的速度越快。

但是,伽利略不同意这一观点。他从理论上推翻了亚里士多德的看法,他说:“假设亚里士多德的结论是正确的,现在有a、b两个物体,且a比b重得多,那么 a应比b先落地。现在把 a、b两个物体捆在一起成为一个物体 a+b,这时由于a+b比a重,因此a+b这个物体应比a先落地;另一方面由于a比b落得快,当a、b两个物体在一起时,b应使a的下落速度减慢,所以a+b又应比a后落地。这样便出现了矛盾;a+b既比a先落地,又比a后落地。这个矛盾是怎样造成的呢?就是由于开始“假设亚里士多德的结论是正确的”造成的,因此亚里士多德的结论是错误的。为了验证自己的观点是正确的,便出现了本文开头提到的比萨斜塔上的试验。

伽利略所阐明的观点是先假设亚里士多德的观点正确,然后由此推导出矛盾的结果,从而得出开始的假设不能成立,即亚里士多德的观点是错误的。

(来源于人民学习网)


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发表于 2014-12-24 19:26:43 | 显示全部楼层
呵呵。
[发帖际遇]: 一个袋子砸在了 yacz130521 头上,yacz130521 赚了 1 金币. 幸运榜 / 衰神榜
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发表于 2015-3-9 18:29:15 | 显示全部楼层
长知识了
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