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[数学研究] 火柴棍游戏

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发表于 2014-11-10 10:05:07 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 轻狂书生 于 2014-11-10 10:06 编辑

2531170_100301707362_2.jpg
     火柴棍本是生活用品,一些玩家把它作为游戏的资源,开辟了火柴棍的新用途。目前用火柴棍制作的游戏很多,许多课外读物都有记载,散失在民间的也不少。下面学习几种火柴棍游戏,一边享受游戏乐趣,一边探讨数学内涵。
                                                                                                 一、 抢火柴棍
    游戏规则   在桌面上放一堆火柴,两人轮流拿火柴棍,每次至少拿1根,至多拿3根,谁拿到最后一根火柴,就算谁赢.
    胜利者脚步的探索   假若A与B两人进行游戏,如果A想赢,那么在最后倒数第二手时,A应当留几根火柴在桌面上呢?
    当然应该留下4根火柴让对手B拿. 因为:①当B取走1根,则A取3根;②当B取走2根,则A取2根;③当B取走3根,则A取1根. 总是A拿到最后一根火柴而取胜.
    同样,倒数第三手,A又应当留几根在桌面上呢?
当然是8根火柴. 因为,①当B走取1根,则A取3根;②当B取走2根,则A取2根;③当B取走3根,则A取1根. 这样,A总是能够留下4根火柴在桌面上.
依此类推,逆向思考,A每次应该在桌面上给B留下火柴棍的数目为4,8,12,...,4n.
思考题一   桌面上有一堆火柴棍,A、B两人进行抢火柴棍游戏,每次至少拿1根,至多拿k根,试找出胜利者的脚步. 如将两人改为3人,结论又怎样呢?
研究题   将“抢火柴棍”游戏进行变式,每次只能拿1根、3根或5根(全为奇数),谁拿到最后一根火柴,就算谁赢。那么胜利者脚步怎样?如果每次只能拿1根或2根(1奇1偶),谁拿到最后一根火柴,就算谁赢。那么胜利者脚步又怎样?
二、输在不可分
游戏规则   有两堆火柴棍,A、B两人玩游戏。A先开始拿走1堆,再把剩下一堆分成两堆给B; B又拿走1堆,再把剩下一堆分成两堆给A,一直反复直到某人拿1堆后,剩下那1堆只有1根火柴棍,没办法分成两堆,那么此人就输。
胜利者脚步的探索
如两堆火柴数分别为p、q,我们用表示(p,q). 我们寻找获胜状态
显然是(1,1)是失败状态.同样
(1,2)是获胜状态,因为拿走第1堆,将2根火柴的1堆分成(1,1),对方面对(1,1)就失败.
(1,3)是失败状态,因为拿走第1堆,将3根火柴的1堆分成(1,2),对方面对(1,2)就获胜.如拿走第2堆,剩下1根又无法分.
(2,2)是获胜状态,因为拿走第1堆,将2根火柴的1堆分成(1,1),对方面对(1,1)就失败.
(1,4)是获胜状态,因为拿走第1堆,将4根火柴的1堆分成(1,3),对方面对(1,3)就失败.
(2,3)是获胜状态,因为拿走第2堆,将2根火柴的1堆分成(1,1),对方面对(1,1)就失败.
(1,5)是失败状态,因为拿走第1堆,将5根火柴的1堆分成(1,4),对方面对(1,4)就获胜.若将5根火柴的1堆分成(2,3),对方面对(2,3)就获胜,如拿走第2堆,剩下1根又无法分.   
归纳发现:(奇,奇)是失败状态, (奇,偶)和(偶,偶)是获胜状态。
证明:如果面对(奇,偶)和(偶,偶)是获胜状态,就先拿走1堆,剩下偶数堆,然后将偶数堆分为(奇,奇)状态。而对方面对(奇,奇)状态,拿走1堆后,剩下奇数堆,无论怎么分也只能分为(奇,偶) 状态。这样下去,我每次面对都是(奇,偶) 状态,而对方每次面对都是(奇,奇)状态,这样下去,由于自然数逐渐减少,最后对方面对必然是(1,1),所以(奇,奇)是失败状态,(奇,偶)和(偶,偶)是获胜状态。
研究题   如果是3堆火柴棍,A拿走两堆,将第剩下的1堆分成3堆,B又拿走两堆,将第剩下的1堆分成3堆,直到最后剩下的火柴不足3根,无法分成3堆,就是失败者。那么胜利者脚步又怎样?
三、中国柠檬
    有一种火柴棍游戏在我国民间流传了近200年,深受人们喜爱,后来传入欧洲,欧洲人称之为“中国柠檬”.
游戏规则   有若干堆火柴,每堆火柴的数目是任意的,现由A、B两人轮流地拿这些火柴,每人每次可以拿走一堆火柴或一堆火柴中的几根,但不能不拿,也不许跨堆拿。约定谁拿到最后一根火柴就算谁赢。
    胜利者脚步的探索   我们用记号(p1,p2,...,pn)表示某时刻桌上n堆火柴的状态. 显然(1,2,3)与(3,2,1)表示同一状态.
首先考虑两堆火柴. 对方先拿,显然(1,1)是一种获胜的位置. 无论对手怎样拿,最后一根火材都被自己拿到. 同样(2,2)也是获胜位置,当对手拿1根,我可以拿走另一堆的1根,把火柴变为状态(1,1);如果对方从一堆中拿走2根,桌上为(0,2),我拿走另2根而获胜.
类似的,可以推出(n,n)都是获胜位置.
再看看三堆火柴. 对方先拿,显然(1,2,3)是 获胜位置. 如对手在第1堆中取1根,我就在第3堆中取1根,变为状态(2,2)而取胜;如对手在第2堆中取1根,我就在第3堆中取3根,变为状态(1,1)而取胜;类似地验证,无论对手怎样取,我都能让火柴变为状态(n,n)而取胜 .
同样, 对方先拿,我们可以验证(1,4,5),(1,6,7),(1,8,9),...,(1,2n,2n+1) 都是获胜位置. 而(0,1),(n,n+m),(1,2,2),(1,3,4)都不是获胜位置.
获胜位置有什么特征呢?如何判定获胜位置呢?美籍法国数学家布顿在1901年给出了如下好方法.
把每一堆火柴的数目用二进制数表示出来(十进制数转化为二进制数的方法详见第16课),将各数码作直式相加(不进位),并将各列答案的奇偶性写在该列的下方. 例如:(2,2),(1,2,3),(3,6,7),(4,5,6,7)等状态,可以列加如下:

QQ截图20141110094046.gif

如果一种状态,列加结果全是偶数,便是获胜位置。否则像(3,6,7)就不是获胜位置.
假定A已拿成了获胜位置,B操作一次不可避免地改变了某一行的二进制,使它一些1变为0,一些0变成1,从而破坏了列加的全偶性,意味着B拿成的一定不是获胜位置. 例如,当B在某堆拿走1根,那么最后一列的‘奇偶性’就会发生变化;当B在某堆拿走2根,那么倒数第二列的‘奇偶性’就会发生变化;当B在某堆拿走3根,那么倒数第一列、第二列的‘奇偶性’就会发生变化……
反过来,如果B所拿的不是获胜位置,那么接下来A就一定有办法把它拿回到获胜位置.
例如,某一状态的各列加结果为‘偶奇奇偶奇偶’,只需在某一堆中拿走011010(2) 根火柴(即26根火柴),此时各列加结果就变为‘偶偶偶偶偶偶’.
注:在实战中,先不必考虑如何取胜,当桌面上火柴不多时,看准哪些状态是形如(2,2),(1,2,3),(n,n),(1,2n,2n+1)之类的基本获胜状态或它们的组合,此时沿着胜利者的脚步前进就可获胜.
四、 威索夫游戏
公元1907年,数学家威索夫发明了一项两人玩的火柴棍游戏. 规则如下:
1.从甲堆中移走一些火柴;
2.从乙堆中移走一些火柴;
3.从两堆中各移走数目相同的火柴.
谁取走最后一根火柴就算谁赢.
胜利者脚步的探索   假如A、B二人进行游戏,如果A想赢,在最后一手应当在桌上给B留下多少火柴呢?如两堆火柴数分别为p、q,我们用(p,q)表示.
显然是(1,2). 因为,①如B在第一堆中取1根,A就在第二堆中取2根而获胜;②如B在第二堆中取1根,A就把剩下的两堆全取走而获胜;③如B在第二堆中取走2根,A就在第一堆中取走1根而获胜.
同样,倒数第二手A又应当在桌上留多少火柴?
答案是(3,5). 请读者自己验证.
    依此类推,就可以得到一张获胜位置表:
QQ截图20141110094217.gif
从上表我们容易看出获胜位置具有这样的规律:数列是一个等差数列.
数学家的眼力   公元1926年,加拿大多伦多大学的比特教授发现了一个重要事实:
对于一个正无理数x和它的倒数x-1,以下两个序列:
QQ截图20141110094849.gif
的整数部分,合起来恰好不重复也不遗漏地包含了全体的自然数.
威索夫指出当 QQ截图20141110094956.gif 时,比特数列对应的新数列,正好就是游戏获胜位置,原来游戏的获胜位置竟与黄金分割数有联系,真奇迹也!
(引自培杰国际数学文化)
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发表于 2014-11-20 20:40:23 | 显示全部楼层
真是难得给力的帖子啊。
!!!!!!!
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发表于 2014-11-29 13:25:32 | 显示全部楼层
给力给力
[发帖际遇]: 家有小 在网吧通宵,花了 3 金币. 幸运榜 / 衰神榜
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发表于 2015-3-7 19:30:23 | 显示全部楼层
长知识了
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发表于 2016-3-15 15:41:33 | 显示全部楼层
谢谢分享赞
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