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兔子数列

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发表于 2014-11-5 13:30:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。
  斐波那契数列
  一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子?
  我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:
  第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对;
  两个月后,生下一对小兔民数共有两对;
  三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对;
  ------
  依次类推可以列出下表:
  经过月数:0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
  兔子对数:1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
  表中数字0,1,1,2,3,5,8---构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。
  这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的,这个级数的通项公式,除了具有an+2=an+an+1的性质外,还可以证明通项公式为:an=1/√[(1+√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....)
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天真的小兔兔

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发表于 2014-11-5 13:46:09 | 显示全部楼层
咱们兔子对数学界的贡献很大的!还有鸡兔同笼问题。话说,通项公式是怎么算出来的?
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发表于 2014-11-5 15:00:12 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2014-11-7 14:20:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 wbshell 于 2014-11-7 14:24 编辑
cuddlex 发表于 2014-11-5 13:46
咱们兔子对数学界的贡献很大的!还有鸡兔同笼问题。话说,通项公式是怎么算出来的?



通项公式的推导方法一:利用特征方程线性递推数列的特征方程为:X^2=X+1
解得X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2    C1*X1^2 + C2*X2^2解得C1=1/√5,C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二:普通方法设常数r,s使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1n≥3时,有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]……F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]将以上n-2个式子相乘,得:F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]∵s=1-r,F(1)=F(2)=1上式可化简得:F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 那么:F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和)=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

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发表于 2014-12-2 09:42:22 | 显示全部楼层
[发帖际遇]: 一个袋子砸在了 悠悠113 头上,悠悠113 赚了 2 金币. 幸运榜 / 衰神榜
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发表于 2015-3-11 18:17:28 | 显示全部楼层
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发表于 2016-1-12 16:09:37 | 显示全部楼层
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发表于 2016-1-12 18:24:15 | 显示全部楼层
谢谢。
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