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[数学家] 布尔代数——逻辑代数创始人布尔

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发表于 2014-11-4 09:52:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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    1815年11月2日,逻辑代数创始人、英国数学家布尔(George Boole,1815.11.02-1864.12.08)出生。

   布尔仅受过小学教育,曾在同乡的一个书商布鲁克的帮助下学习了拉丁语,其后通过自学成才。16岁的布尔即在学校担初级教员职位以养家糊口,家里有他的父母以及三个弟妹。19岁时,布尔成立了自己学校。

1849年,布尔被聘为爱尔兰科克皇后学院教授,并入选英国皇家学会。布尔用数学方法研究逻辑问题,成功地建立了逻辑演算系统。他用“=”表示“判断”,把推理看做等式的变换。这种变换的有效性不依赖于人们对符号的解释,只依赖于符号本身的组合规律。这一逻辑体系被人们称为“布尔代数”。20世纪30年代,逻辑代数在电路系统上获得应用,随后,由于电子技术与计算机的发展,出现各种复杂的大系统,它们的变换规律无不遵从布尔所揭示的逻辑体系。布尔著有《逻辑数学分析》、《思维规律的研究》。他的小女儿伏尼契也因《牛虻》一书而闻名。

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      逻辑数学发展的历史很长,可以追溯到古希腊的亚里士多德(Aristotle,384 BC-322 BC)。逻辑学分为演绎逻辑与归纳逻辑,数学与逻辑学用的最多的是演绎逻辑,创始人是亚里士多德。归纳逻辑已经蜕变成为一种研究方法。17世纪莱布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibniz)首先试图用一套符号和关系来规定逻辑学,但没能成功。到19世纪逻辑学已经渐渐成为一门精密学科,英国数学也从牛顿体系中解放出来,布尔代数也就适时应运而生了。布尔于1847-1854年提出了布尔代数的数学构架,此后,理查德.戴德金(Richard Dedekind)把它作为一种特殊的“格”只出一个“有序四元组”,其中B是一个非空集合;∨与∧是定义在B上的两个二元运算;*是定义在B上的一个一元运算,并且它们满足一定条件。

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      布尔代数缺乏物理对应,所以研究缓慢,到了20世纪30、40年代才又有了新的进展。大约1935年,马歇尔·哈维·斯通(Marshall Harvey Stone)首先指出布尔代数与环之间的明确联系,提出“斯通表示定理”(Stone's representation theorem for Boolean algebras),之后布尔代数就在众多数学分支中得到广泛应用。

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扩展阅读莱布尼兹哈米尔顿

理论物理学家和应用数学家经常发现,他们在应用现实中的某些发现,都能够在纯数学的武器库里找到储备。那么,我们为什么不把任何理论研究都直接诉诸于数学呢?不能这么做的原因之一是,那个武器库的东西太多、太乱了。我们直接进去根本无从挑选。
最后引用费曼的一句话,“为什么我们能用数学来描述自然,而在其背后又有什么机制呢?无人知道,我们必须继续照此办理,因为靠这种方法我们能够发现更多的东西。”
新代数综述

1813年,英国创建了分析学会,学会目标之一就是推广使用微分符号。1817年,乔治·皮科克(George Peacock,1791-1858)摒弃门户之见,在剑桥大学担任考试官期间,使用了莱布尼兹的微分记号代替牛顿的流数符号。

皮科克在他的《代数论》中表明,要把代数变为“一种论证的科学”,这项工作的第一步就是把算术代数和符号代数分开:算术代数是由数和运算符组成的;而符号代数是“关于符号与运算符组合的科学,组合原则只依赖于某些约定的规则,与符号本身的特定值无关。”这是打开新代数之门的第一块敲门砖。

凭借着坚定的信念和聪明的才干,一个不知名的乡村中学教师乔治·布尔完成了他第一篇关于数理逻辑的论文。通过一场与汉密尔顿(不是爱尔兰数学家)之间的辩论,布尔得到了德·摩根的支持,这也激励了布尔。他于1847年发表了一篇题为《逻辑的数学分析》的短论文。同年,德·摩根的《形式逻辑》也出版了。两年后,布尔被任命为女王学院数学教授(很可能是德·摩根大力举荐的结果)。布尔坚持逻辑应该是数学的一个分支,而不是哲学的专门学科;逻辑规则并不来源于修辞,可以用纯符号来确定结构。有了逻辑结构以后,才能用语言加以解释。这使人们第一次认识到:数学不再是单纯的量的科学,而是研究结构的科学。1854年,布尔在他出版的《思维规律的研究》中又重申了上述观点,并进一步建立了形式逻辑和新的代数体系,今天称之为“布尔代数”。布尔代数实际上是类的代数,变量不再是单纯的数,而可以定义为定义域中的类。符号遵循规则与算术代数符号相同。

德·摩根是新代数的坚定支持者。他极力推进了皮科克的思想。早在1830年,他就指出,“除了一个例外,本章的所有元素及算符均无固定意义。符号代数由符号组合的规则决定的许多具有不同意义的代数的语法规则”(《双重代数与三重代数》,1830)。德·摩根没有意识到自己推开的是怎样的一扇大门,他不承认具有三重(维)和四重代数,后来证明这一想法是错的。

1833年,爱尔兰数学家哈米尔顿在爱尔兰皇家学会的演讲中,把复数a+bi表是成(a,b)的有序数组,并给出了复数乘法的几何解释。后来他打算把复数推广为“三维数”z=a+bi+cj,但无法构造合理的乘法则,三维数和高维数花去了哈密尔顿十年光阴。1842年10月16日,他突然想到了将二维数推广到四维数,并放弃乘法的交换律,这样整个结构逻辑是自恰的。据说,哈米尔顿用小刀将这个结果刻在了布劳顿桥的石柱上。当天,他通知爱尔兰皇家学会,说他要在下次会议上宣读一篇关于四元数的文章。哈米尔顿已经给四维数组起好了名字“四元数”。非交换性意味着在三维空间中,两个紧跟相继的旋转依照旋转的顺序不同而结果也不同。汉密尔顿1853年发表了《四元数讲义》。将四元数应用向几何、我微分几何、物理学推广。后来麦克斯韦就是用四元数组来给出电磁学公式的。哈密尔顿死后,他的儿子编辑出版了他的生前手稿《四元数基础》。

代数脱离了几何,同是几何也从真实空间中解放了出来。

美国数学也正在崛起,《测地学观察》主编本杰明·皮尔斯(Benjamin Peirce,1809-1890)将哈米尔顿学说传到了美国。皮尔斯构造了162种代数体系,每个体系由2-6个元素开始,用“加”和“乘”运算结合起来,满足分配率。每个代数体系都有'单位加法元0'但不一定有“单位乘法元1”。这些线形结合代数被表示为矩阵。皮尔斯的儿子查尔斯·桑德斯·皮尔斯(Charles Sanders Peirce,1839-1914)子承父业,证明了162个代数体系中在只有3个可以唯一定义除运算,它们是算术代数、复数代数、四元数代数。

英国的威廉·金顿·克利福德(William Kingdon Clifford,1845-1879)创建了现在我们所熟知的“克利福德代数”,现在主要用于描述非欧空间运动的八元数和十元数。从此代数向着彼此纠缠交织的不同方向而发展。
“数学具有这样的一些特征:数学是由命题罗列起来的抽象的体系结构;数学推理和数学结论具有绝对严密性,且具有广泛的普遍性和实用性……数学的这些特征得之于关于假设的研究。”

<来源于培杰国际数学文化>


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发表于 2015-3-10 18:57:02 | 显示全部楼层
长知识了
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