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[几何] 解析几何建立的故事

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发表于 2014-11-3 09:21:02 | 显示全部楼层 |阅读模式
      一句话,科学的需要和对方法论的兴趣,推动了费尔马和笛卡尔对坐标几何的研究。
  费马,出身于商人家庭,学法律并以律师为职业,数学只是他的业余爱好。虽然他只能利用闲暇时间研究数学,但他对数论和微积分做出了第一流的贡献。并同巴斯卡(Passcal)一同开创了概率论的研究工作,他和笛卡尔都是坐标几何的发明者。
费马关于曲线的工作,是从研究古希腊几何学家,特别是阿波罗尼(Apollonius)开始的。阿波罗尼的《论平面轨迹》一书久已失传,而费尔马是把它重新写出来的人之一。他用代数来研究曲线。他说,他打算发起一个关于轨迹的一般研究,在这种研究是古希腊人没做到的。1629年他写了一本《平面和立体的轨迹引论》(1679年发表),书中说,他找到了一个研究有关曲线问题的普遍方法。
费马的坐标几何研究怎样产生的,我们不知道,很可能把阿波罗尼的结果,直接翻译成代数的形式。他考虑任意曲线和它上面的一般点J,J的位置用A、E两个字母定出:A是从原点O沿底线到点Z的距离,E是从Z到J的距离。它所用的坐标,就是我们现在的斜坐标。但是Y轴没有明白出现,而且不用负数,它的A,E就是我们现在的X,Y.
  费马把他的一般原理,叙述为“只要在最后的方程里出现两各未知量,我们就得到一个轨迹,这两个量之一, 其末端描绘出一条直线或曲线。”前文中对不同位置的E,其末端J,J‘,J’‘……就把“线”描出,它的未知量A和E,实际是变数。或者可以说,联系A和E的方程是不定的。他写出联系A、E的各种方程,并指明它们所描绘的曲线。例如,他给出方程(用我们现在的写法就是)d x = b y,并指出这代表一条直线。他又给出d (a-x) = b y,并指出它也表示一条直线。方程p2-x2 = y2代表一个圆。a2+x2 = k y2和xy = a各代表一条双曲线,x2 = ay代表一条抛物线,而且费尔马确实领悟到坐标轴可以平移和旋转。
因为他给出一些较复杂的二次方程,并给出它们可以简化到的简单形式。他肯定地得到如下结论:一个联系着A、E的方程,如果是一次的就代表直线,如果是二次的就代表圆锥曲线。
  笛卡尔,首先是一位杰出的近代哲学家。他是近代生物学的奠基人、第一流的物理学家,同时也是一位数学家。它的父亲是一位相当富有的律师。笛卡尔大学毕业后去巴黎当律师,在那里他花了一年的时间,跟两位神甫一起研究数学。其后九年中,他曾在几个军队中服役,但他一直研究数学。在荷兰布莱达地方的招贴牌有一个挑战性的问题,被他解决了。这使他自信有数学才能,从而开始用心于数学。回到巴黎后,他为望远镜的威力所激动,又一心钻研光学仪器的理论和构造。1682年他32岁时移居荷兰,得到较为安静自由的学术环境,在那里住了二十年,写出了著名的作品。1649年他被邀请去做瑞典女皇的教师,第二年在那里患肺炎逝世,享年五十四岁。
  1637年笛卡尔写的《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》一书出版,这是一本文学和哲学的经典著作,包括三个著名的附录:《几何》、《折光》和《陨星》。《几何》是他所写的唯一一本数学书,他关于坐标几何的思想,就包括在它的这本《几何》中。笛卡尔的其他著作有《思想的指导法则》,《世界体系》,《哲学原理》,《音乐概要》。
  笛卡尔是通过三个途径来研究数学的,作为一个哲学家,他把数学方法看作是在一切领域建立真理的方法来研究。作为自然科学的研究者,它广泛地研究了力学、水静力学、光学和生物学等各个方面,它的《几何》的一部分和《折光》都是讲光学的。作为一个关心科学用途的人,他强调把科学成果付之应用。在这一点上,他同希腊人明白地公开决裂。由于他注意到数学的力量,他就是要去寻找数学的用途。他不推崇纯粹数学,他认为数学不是思维训练,而是一门建设性的有用科学。他认为把数学方法用到数学本身是没有价值的,因为这不算是研究自然。那些为数学而搞数学的人,是白费精力的盲目研究者。
  笛卡尔对当时几何和代数的研究方法进行了分析和比较,他认为没有任何东西比几何图形更容易印入人的脑际了。因此用这种方式表达事物是非常有益的,但他对欧几里德几何中的每一个证明都要求某种新的往往是奇巧的想法,这一点深感不安。他还批评希腊人的几何过多地依赖于图形。他完全看到了代数的力量,看到他在提供广泛的方法论方面,高出希腊人的几何方法。他同时强调代数的一般性,以及它把程序机械化和把解题工作量减小的价值。他看到代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力。他对当时通行的代数也加以批评,说它完全受公式和法则的控制,不像一门改进思想的科学。因此它主张采取代数和几何中一切最好的东西,互相以长补短。它所作的工作就是把代数用到几何上去。在这里,他对方法的普遍兴趣和他对代数的专门知识,就组成了联合力量,于是就产生了它的《几何》一书。
  在《几何》一书中,他开始仿照韦达的方法,用代数解决几何作图题,后来才逐渐出现了用方程表示曲线的思想。在《几何》第一卷的前一半中,笛卡尔用代数解决的只是古典的几何作图题,这只不过是代数在几何上的一个应用,并不是现代意义下的解析几何。
  下一步,笛卡尔考虑了不确定的问题,其结果可以有很多长度作为答案。这些长度的端点充满一条曲线。他说:“也要求发现并描出这条包括所有端点的曲线”。曲线的描出,根据于最后得到的不定方程,笛卡尔指出:对于每一个x,长度y满足一个确定的方程,因而可以画出。
  笛卡尔的做法,是选定一条直线作为基线,以点A为原点,x值是基线上从A量起一个线段的长度。y是由基线出发与基线作成一个固定角度的一个线段的长度。这个坐标系我们现在叫作斜角坐标系。笛卡尔的x、y只取正值,即图形在第一象限内。
  有了曲线方程的思想之后,笛卡尔进一步发展了它的思想。
1、曲线的次数与坐标轴的选择无关。
2 、同一坐标系中两个曲线的方程联立,可解出交点。
3 、曲线概念的推广,古希腊人说平面曲线是可以用直尺和圆规画出的曲线,而笛卡尔则排斥了这种认为只有用直尺和圆规画出的曲线才是合法的思想,他提出,那些可用一个唯一的含x和y的有限次代数方程表示出的曲线,都是几何曲线。
这样,例如蔓叶线(x3+y3-3a xy=0)和蚌线都被承认是几何曲线,其他如螺线等,笛卡尔称之为机械曲线 [莱布尼兹(Leibniz)后来把它们分别称之为代数曲线和超越曲线]。笛卡尔对曲线概念的这一推广,取消了曲线是否存在看它是否可以用圆规和直尺画出这个判别标准,不但接纳了以前被排斥的曲线,而且开辟了整个曲线领域,牛顿(Newton)1707年称这是“把所有何以用方程表示的线都接收到几何里”。
  从上面的叙述我们可以看出,费尔马和笛卡尔良人各自都研究了坐标几何,但他们研究的目的和方法却有明显不同。费尔马着眼于继承古希腊的思想,认为自己的工作是重新表述了阿波罗尼的工作。而笛卡尔批评了希腊人的传统,主张和这个传统决裂。虽然用方程表示曲线的思想,在费尔马的工作中更为明显,但应该说真正发现代数方法的威力的是笛卡尔。
  有种种原因,使坐标几何的思想——用代数方程表示并研究曲线的思想,在当时没有很快地被数学家们热情地接受并利用。
  一个原因是因为费马的书《轨迹引论》到1679年才出版,而笛卡尔的《几何》中对几何作图题的强调,遮蔽了方程和曲线的主要思想。
事实上,许多和他同时代的人,都认为坐标几何主要是解决作图问题的工具,甚至莱布尼兹说笛卡尔的工作是退回到古代。虽然笛卡尔本人确实知道,它的贡献远远不限于提供一个解决作图问题的工具,他在《几何》的引言中说:“我在第二卷中所作的关于曲线性质的讨论,以及考察在这些性质的方法,根据我看远远超出了普通几何的论述。”但他利用曲线方程之处,确实被他的作图问题所掩盖。
  坐标几何传播速度缓慢的另一个原因,是笛卡尔的书《几何》写得使人难懂。书中许多模糊不清之处,是他故意搞的。它说欧洲几乎没有一个数学家能读懂他的著作,他只约略指出作图法和证法,而留给别人去填写入细节。他在一封信中把他的工作比作建筑师的工作,只是定出计划,指明什么是应该做的,而把手工操作留给木工和瓦工。他还说:“我没有做过任何不经心得删节,但我预见到,对于那些自命无所不知的人,我如果写的使他们能充分理解,他们将不失机会地说我写的都是他们已经知道的东西。”
还有另一理由,在《几何》中他说,他不愿意夺去读者们自己进行加工的乐趣。的确,它的思想必须从它的书中许多解出的例题里去推测,他说,他之所以删去绝大多数定理的证明,是因为如果有人不嫌麻烦而去系统地考察这些例题,一般定理的证明就成为显然的了,而且照这样去学习是更为有益的。
  影响坐标几何被迅速接收的原因,还有一个是许多数学家反对把代数和几何结合起来,认为数量运算和几何量的运算要加以区别,不能混淆。再一个原因是当时代数被认为是缺乏严密性的。
  上述种种原因,虽然阻碍了对费尔马和笛卡尔的贡献的了解,但也有很多人逐渐采用并扩展了坐标几何。
二、解析几何的重要性
  解析几何出现以前,代数已有了相当大的进展,因此解析几何不是一个巨大的成就,但在方法论上却是一个了不起的创建。
1、笛卡尔希望通过解析几何引进一个新的方法,他的成就远远超过他的希望。在代数的帮助下,不但能迅速地证明关于曲线的某些事实,而且这个探索问题的方式,几乎成为自动的了。这套研究方法甚至是更为有利的。用字母表示正数、负数,甚至以后代表复数时,就有了可能把综合几何中必须分别处理的情形,用代数统一处理了。例如,综合几何中证明三角形的高交于一点时,必须分别考虑交点在三角形内和三角形外,而解析几何证明时,则不须加区别。
2、解析几何把代数和几何结合起来,把数学造成一个双面的工具。一方面,几何概念可以用代数表示,几何的目的通过代数来达到。反过来,另一方面,给代数概念以几何解释,可以直观地掌握这些概念的意义。又可以得到启发去提出新的结论(例如,笛卡尔就提出了用抛物线和圆的交点来求三次和四次方程的实根的著名方法),拉格朗日(Lagrange)曾把这些优点写进他的《数学概要》中:“只要代数和几何分道扬镳,他们的进展就缓慢,他们的应用就狭窄。但当这两门科学结成伴侣时,他们就互相吸取新鲜的活力,就以快速走向完善。”的确,十七世纪以来数学的巨大发展,在很大程度上应归功于解析几何,可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的。
3、解析几何的显著优点在于它是数量工具。这个数量工具是科学的发展久已迫切需要的。十七世纪一直公开要求着的,例如当开普勒发现行星沿椭圆轨道绕着太阳运动,伽利略发现抛出去的石子沿着抛物线的轨道飞出去时就必须计算这些椭圆和炮弹飞时所画的抛物线了。这些都需要提供数量的工具,研究物理世界,似乎首先需求几何。物体基本上是几何的形象,运动物体的路线是曲线,研究它们都需要数量知识。而解析几何能使人把形象和路线表示为代数形式,从而导出数量知识。
三、一点启示
解析几何的重要性在于他的方法——建立坐标系,用方程来表示曲线,通过研究方程来研究曲线。
  苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的《解析几何》前言中说:“解析几何没有严格确定的内容,对它来说,决定性的因素,不是研究对象,而是方法。”“这个方法的实质,在于用某种标准的方式把方程(方程组)同几何对象(即图形)相对应,使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来。”
  由于解析几何方法解决各类问题的普遍性,它已成为几何研究中的一个基本方法。不仅如此,它还被广泛应用于其他精确的自然科学领域,如力学和物理学之中。
因此我们学习解析几何,主要是掌握它的基本思想、基本方法,而不仅仅在于记住它的某些具体结论。
  解析几何的基本方法,包括两个方面:一是由图形到方程,二是从方程到图形,也就是选择坐标系,建立图形方程。通过对方程的研究得到图形的性质,了解图形的形状。
  解析几何离不开代数,但又要随时把各种代数表示的几何涵义放在心中。学习中要特别注意,培养自己的几何直观能力。这种能力对于数学的学习是极为重要的。
  应用解析几何的方法,可以研究很多具体对象。因为我们应把目的放在掌握基本方法上,采取“研究对象简单一些,突出基本方法”的方针,避免发生因为研究对象复杂,引起很多枝节,从而淹没了基本方法的现象。这也是笛卡尔留给我们的一个教训。它就是因为讲了很多很多的作图题,把它的关于解析几何的基本思想淹没了。
<转载于中国科普博览>
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发表于 2015-3-9 18:02:49 | 显示全部楼层
长知识了。
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