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[几何] 牛顿定理

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发表于 2014-10-30 13:41:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
牛顿定理

特指平面几何中的牛顿定理(Newton's Theorem)
牛顿线:和完全四边形四边相切的有心圆锥曲线的心的轨迹是一条直线,是完全四边形三条对角线中点所共的线。(涵盖了圆外切四边形的对角线中点连线过圆心的定理)
牛顿定理1
完全四边形三条对角线中点共线
四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N
证明:
取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q
QQ截图20141030151915.png
R,L,Q共线
QL/LR=EA/AB
M,R,P共线
RM/MP=CD/DE
N,P,Q共线
PN/NQ=BF/FC
三式相乘得:
QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC
由梅涅劳斯定理
QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1
由梅涅劳斯定理的逆定理知: L,M,N三点共线
证毕
故牛顿定理1成立

牛顿定理2
圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线。
证明:
设四边形ABCD是⊙I的外切四边形,E和F分别是它的对角线AC和BD的中点,连接EI只需证它过点F,即只需证△BEI与△DEI面积相等。
QQ截图20141030151933.png
显然,S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE,而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID
注意两个式子,由ABCD外切于⊙I,AB+CD=AD+BC,S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD,S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD
即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE,移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID,由E是AC中点,S△CEI=S△AEI,故S△BIC-S△CEI-S△BCE=S△ADE-S△AIE-S△AID,即S△BEI=S△DEI,而F是BD中点,由共边比例定理EI过点F即EF过点I,故结论成立。
证毕。

牛顿定理3
圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。
证明
设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H. 首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI‘=∠BFI ’
因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'
故 AI'/CI'=AH/CF.
同样可证:AI/CI=AE/CG
又AE=AH,CF=CG.
故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.
从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.
同理可证:直线BD,EG,FH交于一点.
因此直线AC,BD,EG,FH交于一点.
证毕。






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发表于 2014-12-24 20:06:39 | 显示全部楼层

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发表于 2014-12-24 20:07:40 | 显示全部楼层
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发表于 2015-1-2 10:00:36 | 显示全部楼层
学习学习,几何很深奥
[发帖际遇]: 一个袋子砸在了 家有小 头上,家有小 赚了 4 金币. 幸运榜 / 衰神榜
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发表于 2015-3-9 19:00:17 | 显示全部楼层
长知识了
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发表于 2015-3-24 21:05:44 | 显示全部楼层
原来几何那么难啊。
[发帖际遇]: 暗月战神 被钱袋砸中进医院,看病花了 1 金币. 幸运榜 / 衰神榜
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发表于 2016-8-12 09:17:19 | 显示全部楼层
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发表于 2017-7-13 18:13:41 | 显示全部楼层
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