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[代数] 牛顿二项式定理

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发表于 2014-10-30 13:36:40 | 显示全部楼层 |阅读模式
牛顿二项式定理

        二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。
        该定理给出两个数之和的数次幂的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。
        二项式定理可以用以下公式表示:


其中,
又有
等记法,称为二项式系数,即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。

证明



考虑用数学归纳法,假设二项展开式在
时成立。

,则:





,将a、b<乘入:

,取出
的项:

,设


, 取出
项:

,两者相加:

,套用帕斯卡法则:




应用

牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。
证明组合恒等式
二项式定理给出的系数可以视为组合数
的另一种定义。 因此二项式展开与组合数的关系十分密切。 它常常用来证明一些组合恒等式。
比如证明
,可以考虑恒等式

展开等式左边得到:
。 注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。
同时如果展开等式右边可以得到

比较两边幂次位的项的系数可以得到:


,并注意到
即可得到所要证明的结论。

推广
该定理可以推广到对任意实数次幂的展开, 即所谓的牛顿广义二项式定理:


其中









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发表于 2014-10-30 16:20:31 | 显示全部楼层

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楼主~~~~,好多公式都不显示出来啊!!!
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发表于 2014-10-30 16:21:21 | 显示全部楼层
好乱
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 楼主| 发表于 2014-10-30 17:10:34 | 显示全部楼层
轻狂书生 发表于 2014-10-30 16:20
楼主~~~~,好多公式都不显示出来啊!!!

好吧,我自己能看到的,所以没有注意这个问题,下次会注意的,实在不好意思
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 楼主| 发表于 2014-10-30 17:11:06 | 显示全部楼层

好吧,我自己能看到的,所以没有注意这个问题,下次会注意的,实在不好意思
[发帖际遇]: 一个袋子砸在了 寻找满月 头上,寻找满月 赚了 1 金币. 幸运榜 / 衰神榜
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发表于 2015-3-9 17:57:07 | 显示全部楼层
长知识了!
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