五年级金牌期中考试第22题恐怖解法 - 小学竞赛 我爱数学网-数学爱好者的家园-中国专业化的数学论坛之一

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五年级金牌期中考试第22题恐怖解法

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发表于 2014-11-9 23:34:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
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小学二年级

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发表于 2014-11-10 09:46:07 | 显示全部楼层
写得很详细!
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发表于 2014-11-10 11:03:04 | 显示全部楼层
太详细了,估计我家是没做出来,也没回家说。
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发表于 2014-11-10 19:50:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 meidun 于 2014-11-10 23:14 编辑

1000A+100B+10C+D+E*F*G*H=2011

(1)1*2*3*4=24,2011-24<2000,所以A=1
(2)题目转换为等价的:100B+10C+D+E*F*G*H=1011(B至H为2至8)假定E=5,那么F,G,H中必有偶数(因为只有3,7两个奇数),所以E*F*G*H是0结尾的,那么D=1,矛盾
所以只能是B,C,D中有一个是5。
(3)E,F,G,H中最多两个奇数3和7,所以E*F*G*H是4的倍数,1011和3同余(模4),所以10C+D和3同余(模4),D必为3、5、7中的一个
当D=5时,只有35、75和3同余(模4)。
(i)C=3,D=5时,100B+E*F*G*H=976,E,F,G,H中最多只有一个奇数,所以E*F*G*H和976都是16的倍数,100B为16的倍数,所以B=4或8。
B=4,400+2*6*7*8>400+2*6*50=1000>976,不成立
B=8,800+2*4*6*7>800+2*4*5*5=1000>976,不成立
(ii)C=7,D=5时,100B+E*F*G*H=936,E,F,G,H中最多只有一个奇数,所以E*F*G*H是16的倍数,936和8同余(模16),则100B为16的倍数,所以B=2或6。
B=2,200+3*4*6*8=200+6*96<200+600=800<936,不成立
B=6,600+2*3*4*8=600+24*8<600+240=840<936,不成立
所以D<>5,D只能等于3或7
当D=3或7时,C为5时53和1同余(模4),57和1同余(模4),所以C也不为5,这时只能B=5
(4)题目转换:10C+D+E*F*G*H=511(C至H为2,3,4,6,7,8)所以E,F,G,H中最多只有一个奇数(因为D为3或7),所以E*F*G*H是16的倍数,511和15同余(模16),十位数2,4,6,8和个位数3,7的配对中只有47,63和15同余(模16)(两位数模16同余15的有15,31,47,63,79,95六个数)
C=4,D=7,  2*3*6*8=6*6*8<6*6*10=360<400(10C+D+2*3*6*8<100+400<511)
C=6,D=3,  2*4*7*8=448,63+448=511,OK

所以答案是1563
其中的(i)(ii)根据楼主的建议进行了增加,以排除D=5的情况
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 楼主| 发表于 2014-11-10 22:28:18 | 显示全部楼层
(3)E,F,G,H中最多两个奇数3和7,所以E*F*G*H是4的倍数,1011和3同余(模4),所以10C+D和3同余(模4),D必为3和7中的一个,而且C为5时53和1同余(模4),57和1同余(模4),所以C也不为5,只能B=5

实际还得先排除10C+D=35,或75。35,75和3同余(模4),排除35,75后,根据模4的性质,C只能偶数,B只能等于5。
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发表于 2014-11-11 10:21:14 | 显示全部楼层
学习,学习。
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发表于 2014-11-11 16:24:43 | 显示全部楼层
可以稍微简单点。
100B+10C+D+E*F*G*H=1011
首先判定B、C、D有5
由于1011是3的倍数,
如E*F*G*H不是3的倍数,只能取2*4*7*8=448,1011-448=563,得解。
如E*F*G*H是3的倍数,则B、C、D有5种选择
(5,3,4)(5,2,8)(5,3,7)(5,4,6)(5,6,7)
一一试过均不符。
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发表于 2014-11-12 19:34:20 | 显示全部楼层
lpiano 发表于 2014-11-11 16:24
可以稍微简单点。
100B+10C+D+E*F*G*H=1011
首先判定B、C、D有5

请问“如E*F*G*H是3的倍数,则B、C、D有5种选择”,这5种选择是怎么确定的?
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发表于 2014-11-12 19:46:22 | 显示全部楼层
B+C+D肯定也是3的倍数,其中一个是5,另两个和为1MOD3
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 楼主| 发表于 2014-11-13 08:31:03 | 显示全部楼层
lpiano 发表于 2014-11-12 19:46
B+C+D肯定也是3的倍数,其中一个是5,另两个和为1MOD3

不错,这方法最为简洁。
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